Линейное уравнение с одной переменной

Представь: ты копишь на наушники за 4500 рублей. У тебя уже есть 1500, и каждую неделю ты откладываешь по 500. Через сколько недель хватит? Обозначим число недель буквой $x$ — это переменная, то есть неизвестное пока число. Тогда задача записывается так:

$1500+500x=4500$

Уравнение — это равенство, содержащее переменную. Решить уравнение — значит найти все значения переменной, при которых равенство становится верным.

Корень уравнения — это значение переменной, которое превращает уравнение в верное равенство. Проверим $x=6$: получится $1500+500\cdot 6=1500+3000=4500$ — верно! Значит, $6$ — корень, и копить нужно 6 недель.

Важно: «решить уравнение» — это найти все его корни или доказать, что корней нет. Один угаданный корень — ещё не решение, если ты не уверен, что других нет.

Линейное уравнение с одной переменной — это уравнение вида

$ax=b$

Здесь $x$ — переменная, $a$ — число, которое называют коэффициентом при переменной, а $b$ — число, которое называют свободным членом. Также линейным называют любое уравнение, которое сводится к такому виду переносами и упрощениями.

Если $a\ne 0$, корень находится одним действием — делим обе части на $a$:

$x=\frac{b}{a}$

Например, уравнение $3x=12$: делим обе части на $3$ и получаем $x=4$. Уравнение $-5x=20$: делим на $-5$ и получаем $x=-4$. Не пугайся дробных ответов: у уравнения $2x=7$ корень $x=3,5$ — это совершенно нормальный корень.

Уравнения называют равносильными, если у них одни и те же корни. Решая уравнение, мы шаг за шагом заменяем его более простым, но равносильным — корни при этом не теряются и не появляются лишние. Разрешены два преобразования:

• прибавить к обеим частям уравнения (или вычесть из них) одно и то же число или выражение;
• умножить или разделить обе части на одно и то же число, не равное нулю.

Из первого правила следует главный практический приём — перенос слагаемых: любое слагаемое можно перенести из одной части уравнения в другую, поменяв его знак на противоположный.

Решим уравнение по шагам:

$5x-4=2x+5$

Переносим $2x$ влево (со знаком минус), а $-4$ вправо (со знаком плюс):

$5x-2x=5+4$

Приводим подобные слагаемые:

$3x=9$

Делим обе части на $3$:

$x=3$

Проверка: слева $5\cdot 3-4=11$, справа $2\cdot 3+5=11$. Сошлось — корень найден верно.

Иногда после всех переносов слагаемое с $x$ исчезает — коэффициент $a$ оказывается нулём. Тут два сценария.

Случай 1: $0\cdot x=b$, где $b\ne 0$. Например, $0\cdot x=5$. Какое число ни подставь вместо $x$, слева всегда $0$, а справа $5$. Верного равенства не получить никогда — корней нет.

Случай 2: $0\cdot x=0$. Подставь хоть $7$, хоть $-100$, хоть $0,5$ — всегда выйдет $0=0$, верно. Значит, корень — любое число, корней бесконечно много.

Сведём всё в таблицу для уравнения $ax=b$:

Именно поэтому делить обе части на выражение с переменной нельзя: ты не знаешь заранее, не ноль ли это, и можешь потерять корни.