7 класс Алгебра 10 мин чтения

Многочлены. Разложение на множители

Ангелина Владимировна, создатель и методист Пифики

Коротко: Разложение многочлена на множители — это представление его в виде произведения более простых выражений, что позволяет решать уравнения, сокращать дроби и упрощать любые алгебраические вычисления.

Проверь себя · 1 из 3

Приведи подобные:

4 x + 2 x + 7

Каждый раз, когда нужно решить уравнение вроде $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ или сократить дробь, в числителе и знаменателе которой стоят многочлены, ключевой инструмент — разложение на множители. Оно же нужно в физике, программировании и инженерии.

Содержание 9

Что значит разложить на множители

Разложить многочлен на множители — значит представить его в виде произведения двух или более многочленов (или одночленов) меньшей степени.

Например:

$x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3)$
$x^{2} + 5 x + 6 = (x + 2) (x + 3)$
$3 x^{2} - 6 x = 3 x (x - 2)$

Зачем это нужно? Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю. Это делает разложение главным методом решения уравнений выше первой степени.

Полным считается разложение, в котором ни один из множителей нельзя разложить дальше (каждый неприводим над рациональными числами).

Все методы разложения — это, по сути, «умножение наоборот»: мы делаем обратное действие по отношению к раскрытию скобок и умножению многочленов.

Метод 1: вынесение общего множителя

Идея: если у всех членов многочлена есть общий множитель (число, переменная или их произведение), его можно вынести за скобку.

Это применение распределительного закона в обратную сторону: $ab + a c = a (b + c)$

Алгоритм:

Найти наибольший общий делитель (НОД) коэффициентов всех членов.
Найти наименьшую степень каждой переменной, встречающейся во всех членах.
Произведение из шагов 1 и 2 — это общий множитель; вынести его за скобку.
Проверить: умножить вынесенный множитель на то, что осталось в скобке.

Пример 1. $6 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x$ .

НОД коэффициентов: $НОД (6, 4, 2) = 2$ . Минимальная степень $x$ : первая. Общий множитель — $2 x$ : $6 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x = 2 x (3 x^{2} - 2 x + 1)$

Пример 2. $5 a^{2} b - 10 a b^{2}$ .

Общий множитель $5 ab$ : $5 a^{2} b - 10 a b^{2} = 5 ab (a - 2 b)$

Важно: если общий множитель равен одному из членов, то в скобке после вынесения остаётся

1

, а не

0

. Например:

x^{2} + x = x (x + 1)

, не

x (x)

Метод 2: формулы сокращённого умножения

Ряд многочленов имеет стандартный вид, который сразу узнаётся и раскладывается по формулам сокращённого умножения.

Разность квадратов: $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ Применяется когда есть два члена — оба точные квадраты, между ними минус.

Полный квадрат суммы: $a^{2} + 2 ab + b^{2} = (a + b)^{2}$

Полный квадрат разности: $a^{2} - 2 ab + b^{2} = (a - b)^{2}$

Сумма кубов: $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})$

Разность кубов: $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$

Как применять: нужно «увидеть» структуру. Например, $4 x^{2} - 25 = (2 x)^{2} - 5^{2} = (2 x - 5) (2 x + 5)$ . Здесь $a = 2 x$ , $b = 5$ .

Ещё пример: $x^{2} + 6 x + 9 = x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2} = (x + 3)^{2}$ .

Ловушка: суммы квадратов $a^{2} + b^{2}$ над рациональными числами не раскладывается на линейные множители. Не пытайся написать $(a + b)^{2}$ — это не равно $a^{2} + b^{2}$ .

Метод 3: группировка

Метод группировки применяется, когда у многочлена четыре (или более) члена и нет единого общего множителя для всех.

Алгоритм:

Разбить члены многочлена на группы (обычно по два).
В каждой группе вынести свой общий множитель.
Убедиться, что в скобках получилось одно и то же выражение — это и есть новый общий множитель.
Вынести его за скобку.

Пример. $a x + a y + b x + b y$ .

Группируем попарно и выносим в каждой паре: $a x + a y + b x + b y = a (x + y) + b (x + y) = (x + y) (a + b)$

Ещё пример. $x^{3} - x^{2} + 3 x - 3$ .

Выносим в первой паре $x^{2}$ , во второй — $3$ : $x^{3} - x^{2} + 3 x - 3 = x^{2} (x - 1) + 3 (x - 1) = (x - 1) (x^{2} + 3)$

Важно: группировка — творческий метод. Если одно разбиение не сработало, попробуй другое. Иногда нужно поменять порядок членов перед группировкой.

Метод 4: разложение трёхчлена $a x^{2} + b x + c$

Квадратный трёхчлен $a x^{2} + b x + c$ раскладывается на линейные множители с помощью его корней.

Теорема. Если

x_{1}

x_{2}

— корни уравнения

a x^{2} + b x + c = 0

, то:

a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})

Алгоритм:

Вычислить дискриминант: $D = b^{2} - 4 a c$ .
Если $D < 0$ — вещественных корней нет, трёхчлен над $R$ неприводим.
Если $D \geq 0$ — найти корни по формуле $x_{1, 2} = \frac{- b \pm D}{2 a}$ .
Записать разложение: $a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ .

Пример. $2 x^{2} - 7 x + 3$ .

Дискриминант: $D = (- 7)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25$ .

Корни: $x_{1} = \frac{7 + 5}{4} = 3$ , $x_{2} = \frac{7 - 5}{4} = \frac{1}{2}$ .

Разложение: $2 x^{2} - 7 x + 3 = 2 (x - 3) (x - \frac{1}{2}) = (x - 3) (2 x - 1)$ .

Частный случай ( $a = 1$ ). Для трёхчлена $x^{2} + p x + q$ корни $x_{1}, x_{2}$ подбираются из условий (теорема Виета): $x_{1} + x_{2} = - p, x_{1} \cdot x_{2} = q$ Это позволяет в простых случаях раскладывать трёхчлен «на глаз», без формулы дискриминанта.

Пример. $x^{2} - 5 x + 6$ . Ищем два числа с суммой $5$ и произведением $6$ : это $2$ и $3$ . Значит: $x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3)$

Комбинированный приём. Часто перед разложением трёхчлена нужно вынести общий множитель: $3 x^{2} - 12 = 3 (x^{2} - 4) = 3 (x - 2) (x + 2)$ .

Ключевые формулы

a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)

Разность квадратов

a^{2} + 2 ab + b^{2} = (a + b)^{2}

Полный квадрат суммы

a^{2} - 2 ab + b^{2} = (a - b)^{2}

Полный квадрат разности

a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})

Разложение квадратного трёхчлена через корни

Запомни

Разложение на множители — это «умножение наоборот»: результат должен давать исходный многочлен при раскрытии скобок.
Всегда начинай с вынесения общего множителя — это упрощает все последующие шаги.
Разность квадратов раскладывается; сумма квадратов над рациональными числами — нет.
Квадратный трёхчлен $a x^{2} + b x + c$ раскладывается на линейные множители тогда и только тогда, когда его дискриминант $D \geq 0$ .
После разложения обязательно проверь: раскрой скобки обратно и убедись, что получился исходный многочлен.

Разбор примеров

Попробуй решить сам, потом сверься с решением.

Пример 1

Разложить на множители:

12 x^{3} y - 8 x^{2} y^{2} + 4 x y

Находим НОД коэффициентов: $НОД (12, 8, 4) = 4$ . Минимальная степень $x$ во всех членах — первая, $y$ — первая. Общий множитель: $4 x y$ .
Выносим $4 x y$ за скобку: $4 x y (3 x^{2} - 2 x y + 1)$ .
Проверка: $4 x y \cdot 3 x^{2} - 4 x y \cdot 2 x y + 4 x y \cdot 1 = 12 x^{3} y - 8 x^{2} y^{2} + 4 x y$ — верно.

Ответ:

4 x y (3 x^{2} - 2 x y + 1)

Пример 2

Разложить на множители:

9 x^{2} - 30 x + 25

Подсказка: Убедись, что средний член равен

2 ab

, иначе это не полный квадрат.

Проверяем, является ли это полным квадратом. Замечаем: $9 x^{2} = (3 x)^{2}$ , $25 = 5^{2}$ , и средний член $30 x = 2 \cdot 3 x \cdot 5$ .
Это полный квадрат разности: $a = 3 x$ , $b = 5$ .
$9 x^{2} - 30 x + 25 = (3 x - 5)^{2}$ .

Ответ:

(3 x - 5)^{2}

Пример 3

Разложить на множители:

x^{3} + 2 x^{2} - 3 x - 6

Подсказка: При группировке следи за знаком:

- 3 x - 6 = - 3 (x + 2)

, а не

- 3 (x - 2)

Единого общего множителя нет. Пробуем группировку: объединяем первые два и последние два члена.
Из первой пары выносим $x^{2}$ : $x^{2} (x + 2)$ . Из второй пары выносим $- 3$ : $- 3 (x + 2)$ .
В обеих группах стоит $(x + 2)$ — выносим его: $x^{3} + 2 x^{2} - 3 x - 6 = x^{2} (x + 2) - 3 (x + 2) = (x + 2) (x^{2} - 3)$ .
Множитель $x^{2} - 3$ дальше не раскладывается над рациональными числами (это не разность квадратов рациональных чисел).

Ответ:

(x + 2) (x^{2} - 3)

Пример 4

Разложить на множители:

6 x^{2} + x - 2

Подсказка: Когда

a \neq = 1

, не забудь коэффициент

a

перед скобками с корнями; затем его можно «распределить» по скобкам, чтобы избавиться от дробей.

Вычисляем дискриминант: $D = 1^{2} - 4 \cdot 6 \cdot (- 2) = 1 + 48 = 49$ .
Корни трёхчлена: $x_{1} = \frac{- 1 + 7}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$ , $x_{2} = \frac{- 1 - 7}{12} = \frac{- 8}{12} = - \frac{2}{3}$ .
Записываем разложение: $6 x^{2} + x - 2 = 6 (x - \frac{1}{2}) (x + \frac{2}{3})$ .
Раскрываем скобки, избавляясь от дробей: $6 \cdot (x - \frac{1}{2}) = (2 x - 1)$ и $6 \cdot (x + \frac{2}{3})$ использует множитель $3$ : итого $6 = 2 \cdot 3$ , поэтому $6 (x - \frac{1}{2}) (x + \frac{2}{3}) = (2 x - 1) (3 x + 2)$ .
Проверка: $(2 x - 1) (3 x + 2) = 6 x^{2} + 4 x - 3 x - 2 = 6 x^{2} + x - 2$ — верно.

Ответ:

(2 x - 1) (3 x + 2)

Пифика в Telegram Подпишись, и ты первым узнаешь о новых темах, заданиях и статьях. Подписаться

Частые ошибки

Применяют формулу разности квадратов к сумме: пишут $a^{2} + b^{2} = (a + b) (a - b)$ , хотя это неверно — $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ .
При вынесении общего множителя за скобку забывают делить на него каждый член: пишут $6 x^{2} + 4 x = 2 x (6 x^{2} + 4 x)$ вместо $2 x (3 x + 2)$ .
В методе группировки не замечают, что выражения в скобках должны быть одинаковыми; если они разные — группировка выполнена неверно или нужно другое разбиение.
Забывают вынести коэффициент $a$ при разложении трёхчлена: пишут $(x - x_{1}) (x - x_{2})$ вместо $a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ , что неверно при $a \neq = 1$ .

Многочлены. Разложение на множители

Что значит разложить на множители

Метод 1: вынесение общего множителя

Метод 2: формулы сокращённого умножения

Метод 3: группировка

Метод 4: разложение трёхчлена ax2+bx+c

Ключевые формулы

Разбор примеров

Метод 4: разложение трёхчлена $a x^{2} + b x + c$