7 класс Алгебра 8 мин чтения

Многочлены. Сложение и вычитание многочленов

Ангелина Владимировна, создатель и методист Пифики

Коротко: Разбираемся, что такое многочлен и его члены, как приводить подобные слагаемые и как складывать и вычитать многочлены, не теряя знаки при раскрытии скобок.

Проверь себя · 1 из 3

Приведи подобные. Какой коэффициент при

x

- 4 x - 6 x

Представь: ты продаёшь наклейки по 5 рублей и значки по 12 рублей. Выручка за день — это 5x + 12y, где x и y — сколько штук ты продал. Такое выражение из нескольких слагаемых — уже многочлен! В этой статье научимся складывать и вычитать такие выражения так же легко, как обычные числа.

Содержание 8

Что такое многочлен

Вспомним: одночлен — это произведение чисел и переменных, например $5 x$ , $- 3 a^{2}$ , $7$ или $2 x y$ .

А теперь сложим несколько одночленов: $5 x + 12 y$ или $3 a^{2} - 2 a + 7$ . Получился многочлен — сумма одночленов. Здесь $x$ , $y$ и $a$ — переменные, то есть буквы вместо неизвестных чисел.

Каждый одночлен в этой сумме называется членом многочлена. У многочлена $3 a^{2} - 2 a + 7$ три члена:

$3 a^{2}$ — первый член,
$- 2 a$ — второй член (минус принадлежит члену, это важно!),
$7$ — третий член, его называют свободным членом, потому что в нём нет переменной.

Многочлен из двух членов называют двучленом ( $5 x + 12 y$ ), из трёх — трёхчленом. Один одночлен — тоже многочлен, просто очень короткий.

Подобные члены и стандартный вид

Смотри на многочлен: $7 x + 3 + 2 x - 1$ . Члены $7 x$ и $2 x$ — как товары одного вида: 7 пачек чипсов плюс 2 пачки чипсов — это 9 пачек чипсов. Такие члены называются подобными: у них одинаковая буквенная часть, отличаются только числовые коэффициенты (множители перед буквами).

Привести подобные члены — значит сложить их коэффициенты, а буквенную часть оставить как есть: $7 x + 2 x = (7 + 2) x = 9 x$

Числа без букв тоже подобны друг другу: $3 - 1 = 2$ . Итого: $7 x + 3 + 2 x - 1 = 9 x + 2$

Важно: $7 x$ и $7 x^{2}$ — НЕ подобные члены! Буквенные части $x$ и $x^{2}$ разные, складывать их коэффициенты нельзя. Это как складывать метры с квадратными метрами.

Многочлен записан в стандартном виде, если все его члены — одночлены стандартного вида и среди них нет подобных. Обычно члены ещё упорядочивают по убыванию степени: сначала $x^{2}$ , потом $x$ , потом число.

Сложение многочленов

Чтобы сложить два многочлена, нужно:

записать их в скобках со знаком «плюс» между ними,
раскрыть скобки,
привести подобные члены.

Если перед скобкой стоит плюс, скобки просто убираем — все знаки внутри остаются прежними: $(2 x + 3) + (x - 1) = 2 x + 3 + x - 1 = 3 x + 2$

Почему так можно? По переместительному и сочетательному законам сложения: слагаемые можно переставлять и группировать как удобно. Мы просто собрали вместе «иксы» и вместе числа.

Лайфхак: подчёркивай подобные члены одинаково — $2 x$ и $x$ одной чертой, $3$ и $- 1$ двумя. Так ничего не потеряешь.

Вычитание и минус перед скобками

С вычитанием хитрее. Представь: у тебя 500 рублей, а потратить нужно $(200 + 150)$ рублей. Ты вычитаешь И 200, И 150 — то есть минус действует на КАЖДОЕ слагаемое в скобках: $500 - (200 + 150) = 500 - 200 - 150$

Правило: если перед скобкой стоит минус, то при раскрытии скобок знак КАЖДОГО члена внутри меняется на противоположный: плюс становится минусом, минус — плюсом. $(5 a + 2) - (3 a - 4) = 5 a + 2 - 3 a + 4 = 2 a + 6$

Заметь: $- 4$ внутри скобок превратился в $+ 4$ . Это место, где ошибается каждый второй семиклассник — минус меняют только у первого члена, а про остальные забывают.

План вычитания многочленов:

запиши разность, каждый многочлен — в своих скобках,
раскрой первые скобки без изменений (перед ними нет минуса),
раскрой вторые скобки, поменяв ВСЕ знаки,
приведи подобные члены.

Ключевые формулы

a x + b x = (a + b) x

Приведение подобных членов:

a x + b x = (a + b) x

, где

a

b

— числовые коэффициенты,

x

— общая буквенная часть подобных членов

a + (b + c) = a + b + c

Раскрытие скобок с плюсом:

a + (b + c) = a + b + c

, где

a

b

c

— любые одночлены; знаки внутри скобок не меняются

a - (b + c) = a - b - c

Раскрытие скобок с минусом:

a - (b + c) = a - b - c

, где

a

b

c

— любые одночлены; знак каждого члена в скобках меняется на противоположный

(a + b) - (c + d) = a + b - c - d

Вычитание многочленов:

(a + b) - (c + d) = a + b - c - d

, где

a

b

c

d

— члены многочленов; у

c

d

знаки поменялись

Запомни

Многочлен — это сумма одночленов; каждый одночлен в нём называется членом многочлена, и знак минус принадлежит члену.
Подобные члены имеют одинаковую буквенную часть; чтобы их привести, складывают коэффициенты: 7x + 2x = 9x.
Если перед скобкой плюс — убираем скобки, ничего не меняя.
Если перед скобкой минус — меняем знак у КАЖДОГО члена внутри скобок, а не только у первого.
$x$ и $x^{2}$ — не подобные члены: складывать их коэффициенты нельзя.

Разбор примеров

Попробуй решить сам, потом сверься с решением.

Пример 1

Приведи подобные члены:

5 x + 3 - 2 x + 7

Подсказка: Подчеркни члены с буквой x одной чертой, а числа без букв — двумя. Складывай только «одинаково подчёркнутые».

Найдём подобные члены. Члены с буквой $x$ : это $5 x$ и $- 2 x$ . Свободные члены (просто числа): $3$ и $7$ .
Сгруппируем подобные: $5 x - 2 x + 3 + 7$
Сложим коэффициенты при $x$ : $5 - 2 = 3$ , получаем $3 x$ .
Сложим числа: $3 + 7 = 10$ .
Итог: $5 x + 3 - 2 x + 7 = 3 x + 10$

Ответ:

3 x + 10

Пример 2

Сложи многочлены

2 x + 3

x - 1

. Построй график получившегося выражения как функции

y

от

x

Подсказка: Плюс перед скобкой — самый дружелюбный знак: скобки просто исчезают, всё внутри остаётся как было.

Запишем сумму, заключив каждый многочлен в скобки: $(2 x + 3) + (x - 1)$
Перед обеими скобками плюс (или ничего) — раскрываем, не меняя знаков: $2 x + 3 + x - 1$
Приводим подобные: $2 x + x = 3 x$ , а $3 - 1 = 2$ .
Получаем многочлен стандартного вида: $3 x + 2$
Если обозначить $y = 3 x + 2$ , где $y$ — значение выражения, а $x$ — переменная, то график — прямая, проходящая через точку $(0; 2)$ .

Ответ:

3 x + 2

Пример 3

Выполни вычитание:

(4 a^{2} + 2 a - 1) - (a^{2} - 3 a + 5)

Первые скобки раскрываем без изменений — перед ними нет минуса: $4 a^{2} + 2 a - 1$
Перед вторыми скобками минус — меняем знак у КАЖДОГО члена: $a^{2}$ станет $- a^{2}$ , $- 3 a$ станет $+ 3 a$ , $+ 5$ станет $- 5$ .
Записываем всё вместе: $4 a^{2} + 2 a - 1 - a^{2} + 3 a - 5$
Приводим подобные. Члены с $a^{2}$ : $4 a^{2} - a^{2} = 3 a^{2}$ . Члены с $a$ : $2 a + 3 a = 5 a$ . Числа: $- 1 - 5 = - 6$ .
Итог: $3 a^{2} + 5 a - 6$

Ответ:

3 a^{2} + 5 a - 6

Пример 4

Упрости выражение

(3 x^{2} - 2 x + 4) - (x^{2} + 2 x - 1)

и найди его значение при

x = 2

. Отметь результат на числовой прямой.

Раскрываем первые скобки без изменений, а во вторых меняем все знаки: $3 x^{2} - 2 x + 4 - x^{2} - 2 x + 1$
Приводим подобные. С $x^{2}$ : $3 x^{2} - x^{2} = 2 x^{2}$ . С $x$ : $- 2 x - 2 x = - 4 x$ . Числа: $4 + 1 = 5$ .
Упрощённый вид: $2 x^{2} - 4 x + 5$
Подставляем $x = 2$ : $2 \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2 + 5 = 2 \cdot 4 - 8 + 5 = 8 - 8 + 5 = 5$
Заметь, как удобно: подставлять $x = 2$ в упрощённое выражение гораздо проще, чем в исходное. Отмечаем число $5$ на числовой прямой.

Ответ:

2 x^{2} - 4 x + 5

; при

x = 2

значение равно

5

Пифика в Telegram Подпишись, и ты первым узнаешь о новых темах, заданиях и статьях. Подписаться

Частые ошибки

При раскрытии скобок с минусом меняют знак только у первого члена: −(3a − 4) превращают в −3a − 4 вместо правильного −3a + 4. Проверяй себя: знак должен поменяться у ВСЕХ членов в скобках.
Складывают неподобные члены: 5x + 3x² «упрощают» до $8 x^{3}$ или $8 x^{2}$ . Сначала сравни буквенные части — если они разные, члены так и остаются рядом через знак.
Теряют член без пары: в выражении 4a² + 2a − a² + 5 забывают перенести 2a или 5 в ответ. Подчёркивай подобные члены разными чертами и пересчитывай члены до и после.
Складывают и буквы, и показатели степеней: x² + x² записывают как x⁴. Правильно: x² + x² = 2x² — складываются только коэффициенты, степень не меняется.