7 класс Алгебра 7 мин чтения

Одночлены. Стандартный вид одночлена

Ангелина Владимировна, создатель и методист Пифики

Коротко: Одночлен — это произведение чисел и переменных, а стандартный вид позволяет записывать его в единой удобной форме с коэффициентом и степенью.

Проверь себя · 1 из 3

Какова степень одночлена

7 x^{2}

Одночлены — строительный материал всей алгебры: из них складываются многочлены, формулы площадей, объёмов и физические законы. Умение приводить одночлен к стандартному виду — первый шаг к грамотной работе с алгебраическими выражениями.

Содержание 10

Что такое одночлен

Одночленом называют число, переменную или произведение чисел и переменных в натуральных степенях.

Примеры одночленов: $5$ , $x$ , $- 3 a$ , $2 x^{2} y$ , $\frac{1}{4} a b^{3}$ .

Одночленом не является выражение, в котором переменная стоит в знаменателе или под знаком корня: $\frac{1}{x}$ и $a$ — не одночлены. Также не одночлен любая сумма или разность, например $x + y$ .

Отдельное число (например, $- 7$ ) — тоже одночлен: его считают произведением с «пустым» набором переменных.

Нулевой одночлен — это $0$ . Его степень не определяют.

Коэффициент и буквенная часть

В записанном одночлене выделяют две части.

Коэффициент — числовой множитель одночлена.
Буквенная часть — произведение всех переменных со степенями.

Пример: в одночлене $- 4 x^{2} y$ коэффициент равен $- 4$ , а буквенная часть — $x^{2} y$ .

Если числовой множитель не записан явно (например, $ab$ ), коэффициент считают равным $1$ , ведь $ab = 1 \cdot ab$ .

Если перед буквенной частью стоит только минус (например, $- x y$ ), коэффициент равен $- 1$ .

Стандартный вид одночлена

Стандартный вид одночлена — это запись, в которой:

коэффициент стоит на первом месте;
далее идут переменные в алфавитном порядке;
у каждой переменной — одна суммарная степень (одинаковые переменные объединены).

Степенью одночлена называют сумму показателей степеней всех его переменных.

Примеры:

$3 \cdot a \cdot a \cdot b$ приводится к $3 a^{2} b$ , степень равна $2 + 1 = 3$ .
$5 \cdot x \cdot 2 \cdot x^{3}$ приводится к $10 x^{4}$ , степень равна $4$ .
$- 7$ — одночлен нулевой степени, потому что переменных нет.

Стандартный вид удобен тем, что позволяет сразу сравнивать одночлены и находить среди них подобные, не путаясь в записи.

Как приводить к стандартному виду

Алгоритм приведения одночлена к стандартному виду:

Перемножить все числовые множители — получится коэффициент.
Для каждой переменной сложить показатели степеней (по свойству $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ ).
Записать коэффициент, а затем переменные в алфавитном порядке.

Пример разбора: $(- 2 x^{3}) \cdot 5 x y^{2}$ .

Числовые множители: $(- 2) \cdot 5 = - 10$ .

Переменная $x$ : $x^{3} \cdot x^{1} = x^{3 + 1} = x^{4}$ .

Переменная $y$ : множитель один, остаётся $y^{2}$ .

Итог: $- 10 x^{4} y^{2}$ , степень равна $4 + 2 = 6$ .

Подобные одночлены

Подобными называют одночлены с одинаковой буквенной частью (одни и те же переменные в одинаковых степенях). Коэффициенты при этом могут быть любыми.

Подобные: $3 x^{2} y$ и $- 5 x^{2} y$ — буквенная часть $x^{2} y$ совпадает.

Неподобные: $3 x^{2} y$ и $3 x y^{2}$ — буквенные части $x^{2} y$ и $x y^{2}$ разные.

Складывать и вычитать можно только подобные одночлены: их коэффициенты складывают, а буквенную часть оставляют прежней.

$3 x^{2} y + (- 5 x^{2} y) = (3 + (- 5)) x^{2} y = - 2 x^{2} y$ .

Это действие называют приведением подобных слагаемых; оно постоянно используется при упрощении многочленов.

Ключевые формулы

a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}

Произведение степеней с одинаковым основанием

de g (a^{m} b^{n}) = m + n

Степень одночлена — сумма показателей переменных

k_{1} a^{m} + k_{2} a^{m} = (k_{1} + k_{2}) a^{m}

Приведение подобных одночленов

Запомни

Одночлен — это произведение чисел и переменных в натуральных степенях; сумма или разность одночленом уже не является.
Стандартный вид: сначала коэффициент, затем переменные в алфавитном порядке с суммарными показателями.
Степень одночлена — это сумма показателей степеней всех его переменных в стандартном виде.
Если числовой множитель не записан, коэффициент равен 1; если стоит только минус — коэффициент равен -1.
Подобные одночлены имеют одинаковую буквенную часть — только их можно складывать и вычитать.

Разбор примеров

Попробуй решить сам, потом сверься с решением.

Пример 1

Является ли выражение

- 5 a^{2} b

одночленом? Найдите его коэффициент, буквенную часть и степень.

Подсказка: Степень переменной без явного показателя равна 1:

b = b^{1}

Выражение $- 5 a^{2} b$ — это произведение числа $- 5$ и переменных $a^{2}$ и $b$ , значит, это одночлен.
Коэффициент — числовой множитель: $- 5$ .
Буквенная часть: $a^{2} b$ .
Степень одночлена: $2 + 1 = 3$ .

Ответ: Одночлен; коэффициент

- 5

, буквенная часть

a^{2} b

, степень

3

Пример 2

Приведите одночлен

3 \cdot x \cdot (- 4) \cdot x^{2}

к стандартному виду.

Подсказка: Числа можно перемножать в любом порядке — результат не изменится.

Перемножим числовые множители: $3 \cdot (- 4) = - 12$ .
Объединим переменные $x$ : $x^{1} \cdot x^{2} = x^{1 + 2} = x^{3}$ .
Стандартный вид: $- 12 x^{3}$ .
Степень одночлена равна $3$ .

Ответ:

- 12 x^{3}

, степень

3

Пример 3

Приведите к стандартному виду и найдите степень:

(- 2 a^{2} b) \cdot (5 a b^{3})

Подсказка: Переменные обрабатывайте по одной: сначала все

a

, потом все

b

Перемножим коэффициенты: $(- 2) \cdot 5 = - 10$ .
Переменная $a$ : $a^{2} \cdot a^{1} = a^{2 + 1} = a^{3}$ .
Переменная $b$ : $b^{1} \cdot b^{3} = b^{1 + 3} = b^{4}$ .
Стандартный вид: $- 10 a^{3} b^{4}$ .
Степень: $3 + 4 = 7$ .

Ответ:

- 10 a^{3} b^{4}

, степень

7

Пример 4

Упростите выражение:

4 x^{2} y - 7 x^{2} y + 2 x y^{2}

Найдём подобные слагаемые: $4 x^{2} y$ и $- 7 x^{2} y$ имеют одинаковую буквенную часть $x^{2} y$ , а у слагаемого $2 x y^{2}$ часть $x y^{2}$ — другая.
Приведём подобные: $4 x^{2} y - 7 x^{2} y = (4 - 7) x^{2} y = - 3 x^{2} y$ .
Слагаемое $2 x y^{2}$ неподобное, поэтому остаётся без изменений.
Итог: $- 3 x^{2} y + 2 x y^{2}$ .

Ответ:

- 3 x^{2} y + 2 x y^{2}

Пифика в Telegram Подпишись, и ты первым узнаешь о новых темах, заданиях и статьях. Подписаться

Частые ошибки

Считать $x + y$ одночленом: это двучлен (многочлен), ведь между переменными стоит знак сложения, а не умножения.
Складывать показатели степеней разных переменных: запись $x^{2} \cdot y^{3} = x^{5}$ неверна — показатели складывают только у одинаковых переменных.
Терять знак коэффициента: в $(- 3 x) \cdot (- 2 x)$ оба множителя отрицательные, поэтому коэффициент равен $(- 3) \cdot (- 2) = 6$ , а не $- 6$ .
Складывать неподобные одночлены: выражение $2 x^{2} + 3 x$ нельзя записать как $5 x^{2}$ или $5 x$ — буквенные части разные, и оно уже записано в простейшем виде.

Частые вопросы

Что называют одночленом?

Произведение чисел, переменных и их натуральных степеней, например

- 3 a^{2} b

. Сумма

a + b

одночленом не является.

Что такое стандартный вид одночлена?

Запись, где числовой множитель стоит на первом месте, а каждая переменная встречается один раз:

2 a \cdot 3 ab = 6 a^{2} b

. Число

6

называют коэффициентом.