7 класс Алгебра 8 мин чтения

Умножение одночлена на многочлен. Умножение многочлена на многочлен

Ангелина Владимировна, создатель и методист Пифики

Коротко: Чтобы умножить одночлен на многочлен, умножь одночлен на каждый член многочлена:

2 x (x - 3) = 2 x^{2} - 6 x

. Чтобы умножить многочлен на многочлен, умножь каждый член первого на каждый член второго и приведи подобные:

(x + 2) (x + 5) = x^{2} + 5 x + 2 x + 10 = x^{2} + 7 x + 10

. Из двух скобок по два члена получается четыре произведения. Знак перед членом умножай вместе с ним.

Проверь себя · 1 из 3

Каким будет знак свободного члена в произведении

(x - 7) (x + 3)

Умение перемножать многочлены нужно везде: при решении уравнений, упрощении выражений, доказательстве тождеств. Именно здесь распределительный закон из арифметики превращается в мощный алгебраический инструмент.

Содержание 8

Одночлен и многочлен: краткое напоминание

Одночлен — это число, переменная или их произведение (например, $5$ , $x$ , $- 3 a^{2} b$ ). В одночлене нет сложения и вычитания.

Многочлен — это сумма одночленов. Каждое слагаемое называют членом многочлена. Например, $2 x^{2} - 5 x + 3$ — многочлен с тремя членами (трёхчлен).

Для умножения важно помнить три правила:

при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ ;
числовые коэффициенты перемножаются как обычные числа;
знаки учитываются по правилу: «минус на минус даёт плюс».

Умножение одночлена на многочлен

Правило. Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.

В основе лежит распределительный закон (дистрибутивность умножения относительно сложения): $a (b + c) = ab + a c$

Это не новое правило — то же самое вы делали с числами: $3 \cdot (4 + 5) = 3 \cdot 4 + 3 \cdot 5$ . Теперь вместо чисел стоят одночлены.

Порядок действий:

Умножаем одночлен на первый член многочлена.
Умножаем одночлен на второй член многочлена.
Продолжаем для всех остальных членов.
Записываем сумму полученных одночленов и при необходимости приводим подобные.

Пример: $2 x \cdot (3 x^{2} - 4 x + 1) = 6 x^{3} - 8 x^{2} + 2 x$ .

Важно про знаки. Знак члена многочлена «идёт» вместе с ним. Если член отрицательный, то и произведение одночлена на него будет отрицательным.

Умножение многочлена на многочлен

Правило. Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена и полученные произведения сложить.

Почему так? Мы применяем распределительный закон дважды. Если первый многочлен — $(a + b)$ , а второй — $(c + d)$ , то $(a + b) (c + d) = a (c + d) + b (c + d) = a c + a d + b c + b d$ .

Каждый член из первой скобки «встречается» с каждым членом из второй. Если в первом многочлене $m$ членов, а во втором $n$ членов, то до приведения подобных получится $m \cdot n$ произведений.

Порядок действий:

Берём первый член первого многочлена и умножаем его на каждый член второго.
Берём второй член первого многочлена и умножаем его на каждый член второго.
Повторяем для всех членов первого многочлена.
Складываем все произведения.
Приводим подобные члены.

Совет. Чтобы не пропустить ни одной пары, удобно соединять члены стрелками или работать «в столбик». Для $(a + b) (c + d)$ получаются ровно четыре произведения: $a \cdot c$ , $a \cdot d$ , $b \cdot c$ , $b \cdot d$ — ни одного лишнего и ни одного пропущенного.

Приведение подобных членов после умножения

После перемножения нередко появляются подобные члены — одночлены с одинаковой буквенной частью (например, $3 x^{2}$ и $- 7 x^{2}$ ). Их приводят: коэффициенты складывают, а буквенную часть оставляют без изменений.

$3 x^{2} + (- 7 x^{2}) = (3 + (- 7)) \cdot x^{2} = - 4 x^{2}$

Когда подобные приведены, многочлен записан в стандартном виде. Степень результата равна сумме степеней перемножаемых множителей:

одночлен степени $n$ умножается на многочлен степени $m$ — результат степени $n + m$ ;
многочлен степени $n$ умножается на многочлен степени $m$ — результат степени $n + m$ .

Это удобный способ самопроверки: если умножаете многочлен степени 2 на многочлен степени 1, старший член результата должен иметь степень 3.

Ключевые формулы

a (b + c) = ab + a c

Умножение одночлена на многочлен

(a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d

Умножение многочлена на многочлен

a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}

Произведение степеней с одинаковым основанием

de g (P \cdot Q) = de g P + de g Q

Степень произведения многочленов

Запомни

При умножении одночлена на многочлен каждый член многочлена умножается на одночлен — ни один член нельзя пропустить.
Знак члена многочлена является его частью: минус перед членом обязательно учитывается при умножении.
При умножении многочлена на многочлен каждый член первого умножается на каждый член второго: всего $m \cdot n$ произведений до приведения подобных.
После умножения обязательно приводим подобные члены — без этого выражение не считается упрощённым.
Степень произведения равна сумме степеней множителей — это быстрая проверка правильности результата.

Разбор примеров

Попробуй решить сам, потом сверься с решением.

Пример 1

Раскройте скобки:

4 a \cdot (2 a - 3)

Подсказка: Следите за знаком второго члена:

- 3

отрицательный, поэтому и произведение отрицательное.

Умножаем одночлен $4 a$ на каждый член двучлена: $4 a \cdot (2 a - 3) = 4 a \cdot 2 a + 4 a \cdot (- 3)$ .
$4 a \cdot 2 a = 8 a^{2}$ (коэффициенты: $4 \cdot 2 = 8$ ; степени: $a \cdot a = a^{2}$ ).
$4 a \cdot (- 3) = - 12 a$ .
Складываем: $8 a^{2} + (- 12 a) = 8 a^{2} - 12 a$ .

Ответ:

8 a^{2} - 12 a

Пример 2

Упростите выражение:

3 x (x^{2} - 2 x + 4) - 2 (x^{3} - 5)

Подсказка: Перед вторыми скобками стоит минус — меняйте знак у каждого члена внутри них.

Раскрываем первые скобки: $3 x \cdot x^{2} + 3 x \cdot (- 2 x) + 3 x \cdot 4 = 3 x^{3} - 6 x^{2} + 12 x$ .
Раскрываем вторые скобки: $- 2 \cdot x^{3} + (- 2) \cdot (- 5) = - 2 x^{3} + 10$ .
Записываем сумму: $3 x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 2 x^{3} + 10$ .
Приводим подобные с $x^{3}$ : $(3 - 2) x^{3} = x^{3}$ .
Итоговое выражение: $x^{3} - 6 x^{2} + 12 x + 10$ .

Ответ:

x^{3} - 6 x^{2} + 12 x + 10

Пример 3

Раскройте скобки и приведите подобные:

(x + 3) (x - 5)

Подсказка: При перемножении двух двучленов всегда получается четыре произведения — проверьте, что у вас их именно четыре до приведения подобных.

Умножаем каждый член первого двучлена на каждый член второго: $(x + 3) (x - 5) = x \cdot x + x \cdot (- 5) + 3 \cdot x + 3 \cdot (- 5)$ .
$x \cdot x = x^{2}$ ; $x \cdot (- 5) = - 5 x$ ; $3 \cdot x = 3 x$ ; $3 \cdot (- 5) = - 15$ .
Сумма всех произведений: $x^{2} - 5 x + 3 x - 15$ .
Приводим подобные с $x$ : $- 5 x + 3 x = - 2 x$ .
Результат: $x^{2} - 2 x - 15$ .

Ответ:

x^{2} - 2 x - 15

Пример 4

Раскройте скобки:

(2 x - 1) (3 x^{2} + x - 4)

Умножаем $2 x$ на каждый член трёхчлена: $2 x \cdot 3 x^{2} + 2 x \cdot x + 2 x \cdot (- 4) = 6 x^{3} + 2 x^{2} - 8 x$ .
Умножаем $- 1$ на каждый член трёхчлена: $(- 1) \cdot 3 x^{2} + (- 1) \cdot x + (- 1) \cdot (- 4) = - 3 x^{2} - x + 4$ .
Записываем сумму всех шести слагаемых: $6 x^{3} + 2 x^{2} - 8 x - 3 x^{2} - x + 4$ .
Приводим подобные с $x^{2}$ : $2 x^{2} - 3 x^{2} = - x^{2}$ ; с $x$ : $- 8 x - x = - 9 x$ .
Результат: $6 x^{3} - x^{2} - 9 x + 4$ .

Ответ:

6 x^{3} - x^{2} - 9 x + 4

Пифика в Telegram Подпишись, и ты первым узнаешь о новых темах, заданиях и статьях. Подписаться

Частые ошибки

Умножают одночлен только на первый член многочлена, забывая об остальных: пишут $3 (x + 2) = 3 x$ вместо верного $3 (x + 2) = 3 x + 6$ .
Теряют знак: при умножении на отрицательный одночлен не меняют знаки у всех членов. Например, $- 2 (x - 5) = - 2 x - 5$ вместо верного $- 2 x + 10$ .
При перемножении двух многочленов пропускают некоторые пары «первый × второй», особенно в трёхчленах, и получают меньше слагаемых, чем должно быть.
Приводят неподобные члены: складывают $x^{2}$ и $x$ , как будто они одинаковые, получая $2 x^{2}$ вместо $x^{2} + x$ .