7 класс Алгебра 8 мин чтения

Вынесение общего множителя за скобки

Ангелина Владимировна, создатель и методист Пифики

Коротко: Вынести общий множитель за скобки значит записать сумму как произведение:

ab + a c = a (b + c)

. В общий множитель берут НОД коэффициентов и буквы, которые есть в каждом слагаемом, в наименьшей степени:

6 x^{2} + 9 x = 3 x (2 x + 3)

. От слагаемого, вынесенного целиком, в скобке остаётся

1

a^{2} + a = a (a + 1)

. Проверь себя: раскрой скобки, и должно получиться исходное выражение.

Проверь себя · 1 из 3

Какой общий множитель у

8 a^{2} + 4 a

Представь: ты купил 3 шоколадки по 70 рублей и 3 сока по 30 рублей. Можно считать долго: 3 · 70 + 3 · 30. А можно заметить, что всего 3 «набора» по 100 рублей — и мгновенно получить 300. Этот трюк «собери одинаковое в скобку» в алгебре называется вынесением общего множителя. Он превращает страшные выражения в короткие и помогает щёлкать уравнения.

Содержание 8

Раскрытие скобок наоборот

Ты уже умеешь раскрывать скобки по распределительному закону:

$a (b + c) = ab + a c$

Здесь $a$ — множитель перед скобкой, а $b$ и $c$ — слагаемые внутри неё. Вынесение общего множителя — это то же равенство, но прочитанное справа налево:

$ab + a c = a (b + c)$

Было два слагаемых $ab$ и $a c$ , в каждом «сидит» один и тот же множитель $a$ . Мы вытаскиваем его за скобку один раз, а в скобке оставляем то, что было «при нём»: $b$ и $c$ .

Пример с числами:

$3 \cdot 70 + 3 \cdot 30 = 3 \cdot (70 + 30) = 3 \cdot 100 = 300$

Зачем это нужно? Вынесение множителя — главный способ разложить многочлен на множители. А разложение на множители — ключ к решению уравнений, сокращению дробей и быстрому счёту.

Как найти общий множитель: сначала число

Общий множитель состоит из двух частей: числовой и буквенной. Начнём с числа.

Числовая часть — это наибольший общий делитель (НОД) всех коэффициентов. Коэффициент — это число перед буквами в одночлене.

Разберём выражение $12 x + 18 y$ :

коэффициенты — это $12$ и $18$ ;
делители $12$ : 1, 2, 3, 4, 6, 12; делители $18$ : 1, 2, 3, 6, 9, 18;
наибольший общий — это $6$ .

Выносим $6$ за скобку. Чтобы понять, что останется в скобке, делим каждое слагаемое на $6$ :

$12 x + 18 y = 6 \cdot 2 x + 6 \cdot 3 y = 6 (2 x + 3 y)$

Важно: в скобке должно остаться столько же слагаемых, сколько было. Было два — осталось два.

Теперь буквы: берём наименьшую степень

С буквами правило такое: за скобку можно вынести букву, которая есть в каждом слагаемом, причём в наименьшей из степеней.

Почему наименьшей? Потому что из $x^{5}$ можно «достать» $x^{2}$ (останется $x^{3}$ ), а вот из $x^{2}$ достать $x^{5}$ не получится — не хватит.

Пример: $x^{5} + x^{3}$ . Буква $x$ есть в обоих слагаемых, наименьшая степень — $x^{3}$ :

$x^{5} + x^{3} = x^{3} \cdot x^{2} + x^{3} \cdot 1 = x^{3} (x^{2} + 1)$

Заметь: когда слагаемое целиком ушло за скобку, на его месте остаётся $1$ , а не пустота и не ноль! Ведь $x^{3} = x^{3} \cdot 1$ .

Теперь соберём всё вместе для $10 a^{3} b + 15 a^{2}$ :

числовая часть: НОД чисел $10$ и $15$ равен $5$ ;
буква $a$ есть в обоих слагаемых, наименьшая степень — $a^{2}$ ;
буква $b$ есть только в первом слагаемом — её вынести нельзя.

$10 a^{3} b + 15 a^{2} = 5 a^{2} (2 ab + 3)$

Алгоритм и проверка умножением

Полный план действий:

Найди НОД всех коэффициентов — это числовая часть множителя.
Выбери буквы, которые есть в каждом слагаемом, и возьми их в наименьшей степени.
Раздели каждое слагаемое на общий множитель — результаты запиши в скобку с теми же знаками.
Проверь себя: раскрой скобки обратно.

Проверка — твоя страховка от ошибок. Раскрой скобки умножением: если получилось исходное выражение, всё верно.

Проверим $10 a^{3} b + 15 a^{2} = 5 a^{2} (2 ab + 3)$ :

$5 a^{2} \cdot 2 ab + 5 a^{2} \cdot 3 = 10 a^{3} b + 15 a^{2}$

Сошлось — значит, разложили правильно. Эта проверка занимает 10 секунд, а спасает от потерянных баллов на контрольной.

И про знаки: минус тоже подчиняется правилу. В $6 x - 9$ выносим $3$ :

$6 x - 9 = 3 (2 x - 3)$

Знак минус остаётся внутри скобки между слагаемыми.

Ключевые формулы

ab + a c = a (b + c)

Вынесение общего множителя:

ab + a c = a (b + c)

, где

a

— общий множитель,

b

c

— то, что остаётся от каждого слагаемого после деления на

a

ab - a c = a (b - c)

То же с минусом:

ab - a c = a (b - c)

, где

a

— общий множитель,

b

c

— оставшиеся множители; знак минус сохраняется в скобке

x^{m + k} + x^{m} = x^{m} (x^{k} + 1)

Степени:

x^{m} \cdot x^{k} + x^{m} = x^{m} (x^{k} + 1)

, где

x

— переменная,

m

— наименьшая степень (она выносится),

k

— «остаток» степени; от целиком вынесенного слагаемого остаётся 1

a (b + c) = ab + a c

Проверка умножением:

a (b + c) = ab + a c

— раскрываем скобки и сравниваем с исходным выражением;

a

— вынесенный множитель,

b

c

— слагаемые в скобке

Запомни

Вынесение общего множителя — это раскрытие скобок, прочитанное справа налево: ab + ac = a(b + c).
Числовая часть общего множителя — НОД всех коэффициентов.
Буква выносится в наименьшей из степеней, в которых она встречается, и только если она есть в каждом слагаемом.
Если слагаемое целиком ушло за скобку, на его месте в скобке остаётся 1, а не ноль.
Всегда проверяй себя: раскрой скобки обратно — должно получиться исходное выражение.

Разбор примеров

Попробуй решить сам, потом сверься с решением.

Пример 1

Вычисли удобным способом: 4 · 6 + 4 · 4.

Подсказка: Какое число повторяется в обоих произведениях? Вынеси его — и в скобке получится круглое число.

В обоих слагаемых есть общий множитель $4$ — выносим его за скобку.
$4 \cdot 6 + 4 \cdot 4 = 4 \cdot (6 + 4)$
В скобке считается легко: $6 + 4 = 10$ .
$4 \cdot 10 = 40$

Ответ: 40

Пример 2

Вынеси общий множитель за скобки: 6a + 9b.

Коэффициенты — $6$ и $9$ . Их НОД равен $3$ .
Общих букв нет: $a$ есть только в первом слагаемом, $b$ — только во втором.
Делим каждое слагаемое на $3$ : первое даёт $2 a$ , второе даёт $3 b$ .
$6 a + 9 b = 3 (2 a + 3 b)$
Проверка: $3 \cdot 2 a + 3 \cdot 3 b = 6 a + 9 b$ . Сошлось.

Ответ: 3(2a + 3b)

Пример 3

Разложи на множители: 4x² + 8x.

Числовая часть: НОД коэффициентов $4$ и $8$ равен $4$ .
Буквенная часть: $x$ есть в обоих слагаемых; наименьшая степень — $x$ (первая).
Общий множитель: $4 x$ .
Делим: $4 x^{2} : 4 x = x$ , а $8 x : 4 x = 2$ .
$4 x^{2} + 8 x = 4 x (x + 2)$
Проверка умножением: $4 x \cdot x + 4 x \cdot 2 = 4 x^{2} + 8 x$ . Верно.

Ответ: 4x(x + 2)

Пример 4

Реши уравнение: x² = 5x.

Соблазн разделить обе части на $x$ — но так потеряется корень! Делить на $x$ нельзя: вдруг $x = 0$ .
Переносим всё в левую часть: $x^{2} - 5 x = 0$
Выносим общий множитель $x$ : $x (x - 5) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю.
Первый случай: $x = 0$ .
Второй случай: $x - 5 = 0$ , то есть $x = 5$ .
Проверка: $0^{2} = 5 \cdot 0$ — верно; $5^{2} = 25 = 5 \cdot 5$ — верно.

Ответ: x = 0 или x = 5

Пифика в Telegram Подпишись, и ты первым узнаешь о новых темах, заданиях и статьях. Подписаться

Частые ошибки

Потеря единицы: пишут $5 a^{2} + 5 = 5 (a^{2})$ и теряют слагаемое. Правильно: $5 a^{2} + 5 = 5 (a^{2} + 1)$ . В скобке столько же слагаемых, сколько было!
Выносят слишком большую степень: $x^{3} + x^{2} = x^{3} (1 + x)$ — неверно, ведь из $x^{2}$ нельзя достать $x^{3}$ . Бери наименьшую степень: $x^{2} (x + 1)$ .
Выносят не самый большой множитель: $12 x + 18 y = 2 (6 x + 9 y)$ — это не ошибка по сути, но разложение не закончено. Выноси НОД: $6 (2 x + 3 y)$ .
Путают знаки: $6 x - 9$ превращают в $3 (2 x + 3)$ . Знаки слагаемых в скобке должны совпадать со знаками в исходном выражении. Лекарство одно — проверка умножением.