5 класс Математика 10 мин чтения

Простые и составные числа, 5 класс

Ангелина Владимировна, создатель и методист Пифики

Коротко: Простое число делится только на 1 и на само себя, а составное можно «разобрать» на множители поменьше. Научимся их различать и раскладывать числа на простые множители — это супер-навык для работы с дробями.

Проверь себя · 1 из 3

Почему число

20

является составным?

Представь, что числа — это конструктор LEGO. Одни числа — это «кирпичики», которые уже нельзя разобрать. Другие собраны из кирпичиков, и их можно разложить на части. Кирпичики — это простые числа, а собранные из них — составные. Зачем это знать? Когда ты будешь сокращать дроби или искать общий знаменатель, тебе придётся разбирать числа на такие кирпичики. Без этого умения всё превращается в угадайку.

Содержание 9

Делители числа

Начнём с простого. У тебя 12 конфет, и ты хочешь раздать их друзьям поровну, без остатка. Скольким друзьям получится? Двум (по 6 конфет), трём (по 4), четырём (по 3), шестерым (по 2)... Все эти числа — делители числа 12.

Делитель числа $a$ — это такое число $d$ , на которое $a$ делится без остатка. Тут $a$ — наше число (например, 12 конфет), а $d$ — на сколько частей делим. Записывают так:

$a = d \cdot k$

где $k$ — сколько досталось каждому.

У числа 12 целых шесть делителей: $1, 2, 3, 4, 6, 12$ . А вот у числа 7 — только два: $1$ и $7$ . Семь конфет поровну можно раздать либо одному человеку, либо семерым. Всё!

Запомни: у любого числа $n$ , которое больше 1, всегда есть минимум два делителя — единица и само число. А вот сколько у числа делителей ВСЕГО — это и есть главный вопрос этой темы.

Простые и составные числа

Теперь главные определения — они короткие.

Простое число — это число больше 1, у которого ровно два делителя: 1 и оно само. Как число 7 из примера с конфетами: его никак не «разобрать» на части.

Составное число — это число больше 1, у которого делителей больше двух. Оно как будто составлено (собрано) из множителей поменьше. Число 12 — составное: $12 = 3 \cdot 4$ .

А что с единицей? Число 1 — не простое и не составное. У него всего один делитель (оно само), а для простого нужно ровно два. Единица — особый случай, держи это в голове.

Вот первые простые числа — полезно их узнавать в лицо:

$2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37 \dots$

Заметь интересную вещь: 2 — единственное чётное простое число. Почему? Любое другое чётное число (4, 6, 8...) делится на 2, а значит, у него уже есть «лишний» делитель — и оно автоматически составное.

Решето Эратосфена

Больше двух тысяч лет назад греческий математик Эратосфен придумал, как «просеять» числа и оставить только простые — будто муку через сито. Способ так и называется — решето Эратосфена.

Допустим, хотим найти все простые числа до какого-то числа $n$ (например, до 30). Действуем так:

Выписываем подряд все числа от 2 до $n$ .
Берём первое незачёркнутое число — это 2. Оно простое! А все числа, которые делятся на 2 ( $4, 6, 8, \dots$ ), вычёркиваем — они составные.
Следующее незачёркнутое — 3. Тоже простое! Вычёркиваем его кратные: $6, 9, 12, \dots$
Повторяем, пока квадрат очередного числа не станет больше $n$ .

Всё, что осталось незачёркнутым, — простые числа. Они «не провалились» сквозь решето.

А почему можно остановиться так рано? Хитрость вот в чём: делители всегда ходят парами. Если $36 = 4 \cdot 9$ , то 4 и 9 — пара. Один из пары всегда не больше $n$ (корня из числа — то есть числа, которое при умножении на себя даёт $n$ ). Значит, если маленький делитель не нашёлся, то и большого нет.

Как проверить, простое ли число

Допустим, тебе попалось число 97. Простое оно или нет? Не проверять же все 96 чисел подряд! К счастью, есть короткий путь: достаточно проверить деление только на простые числа до $n$ .

План действий:

Прикидываем $n$ — корень из нашего числа.
Перебираем простые числа $2, 3, 5, 7, 11, \dots$ до этого корня.
Ни одно не делит наше число? Оно простое. Хоть одно делит? Составное.

Проверяем 97.

$97 \approx 9, 8$ — значит, хватит проверить только $2, 3, 5, 7$ . Всего четыре кандидата!

97 — нечётное, на 2 не делится.
Сумма цифр $9 + 7 = 16$ — на 3 не делится, значит, и 97 не делится.
97 не оканчивается на 0 или 5 — на 5 не делится.
$97 = 7 \cdot 13 + 6$ — остаток 6, на 7 не делится.

Все четыре кандидата мимо. Вывод: 97 — простое. Видишь, как быстро?

Разложение на простые множители

Вернёмся к идее конструктора. Любое составное число можно разобрать на простые «кирпичики» — и тут есть удивительный факт:

Каждое число больше 1 либо само простое, либо раскладывается в произведение простых чисел, причём только одним способом (порядок множителей не считается). Это правило настолько важное, что его называют основной теоремой арифметики.

Такая запись называется разложением на простые множители. Если кирпичики повторяются, их записывают степенью: $360 = 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5$ .

Как разбирать число? Дели его на самый маленький простой делитель, потом результат — снова, и так до единицы:

$360 : 2 = 180, 180 : 2 = 90, 90 : 2 = 45, 45 : 3 = 15, 15 : 3 = 5, 5 : 5 = 1$

Теперь собираем все множители, на которые делили:

$360 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5$

Кстати, вот и разгадка, почему единицу не считают простым числом. Если бы 1 была простой, в разложение можно было бы добавить сколько угодно единиц: $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 1 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \dots$ — и единственность разложения сломалась бы.

Ключевые формулы

a = d \cdot k

Условие делимости

a = d \cdot k

a

— число, которое делим,

d

— делитель,

k

— результат деления (частное)

n = p_{1}^{a_{1}} \cdot p_{2}^{a_{2}} \cdot \dots \cdot p_{k}^{a_{k}}, p_{1} < p_{2} < \dots < p_{k}

Разложение на простые множители:

n

— наше число,

p_{1}, p_{2}, \dots, p_{k}

— простые «кирпичики» (от меньшего к большему),

a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k}

— сколько раз каждый кирпичик встречается

d \leq n

Граница проверки:

d

— делитель, который ищем,

n

— проверяемое число; искать достаточно до корня из

n

Запомни

Простое число — это число больше 1, у которого ровно два делителя: 1 и оно само.
Составное число — это число больше 1, у которого делителей больше двух.
Число 1 — не простое и не составное. Особый случай!
Число 2 — единственное чётное простое число; все остальные чётные числа составные.
Чтобы проверить, простое ли число $n$ , хватит проверить деление на простые числа до $n$ включительно.
Каждое число больше 1 раскладывается на простые множители только одним способом (порядок не считается).

Разбор примеров

Попробуй решить сам, потом сверься с решением.

Пример 1

Является ли число 51 простым?

Подсказка: Признак делимости на 3: если сумма цифр числа делится на 3, то и само число делится на 3.

Прикидываем корень: $51 \approx 7, 1$ — значит, проверяем только простые числа 2, 3, 5, 7.
Число 51 нечётное — на 2 не делится.
Сумма цифр $5 + 1 = 6$ делится на 3 — значит, и 51 делится на 3!
Проверяем делением: $51 = 3 \cdot 17$ . Нашёлся лишний делитель.

Ответ: 51 — составное число, потому что 51 = 3 · 17.

Пример 2

Разложите число 84 на простые множители.

Подсказка: Всегда начинай с самого маленького простого делителя: сначала 2, потом 3, 5, 7 и так далее.

Число 84 чётное — делим на 2: $84 : 2 = 42$ .
Число 42 тоже чётное — снова делим на 2: $42 : 2 = 21$ .
Число 21 нечётное, но сумма цифр $2 + 1 = 3$ делится на 3 — делим: $21 : 3 = 7$ .
Число 7 — простое, дальше разбирать нечего.
Собираем все кирпичики: $84 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 7$ .

Ответ: 84 = 2² · 3 · 7

Пример 3

Найдите все простые числа в промежутке от 20 до 30.

Выписываем кандидатов: 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30.
Прикидываем границу: $30 \approx 5, 5$ — значит, каждое число проверяем только на 2, 3 и 5.
$21 = 3 \cdot 7$ и $22 = 2 \cdot 11$ — составные. А вот 23 не делится ни на 2, ни на 3, ни на 5 — простое!
$24 = 2^{3} \cdot 3$ , $25 = 5^{2}$ , $26 = 2 \cdot 13$ — все составные.
$27 = 3^{3}$ и $28 = 2^{2} \cdot 7$ — составные. 29 не делится на 2, 3, 5 — простое! А $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$ — составное.

Ответ: В промежутке от 20 до 30 ровно два простых числа: 23 и 29.

Пример 4

Разложите на простые множители число 180.

Подсказка: Дели число на самый маленький простой делитель, пока не получишь 1. Признаки делимости на 2, 3 и 5 помогут быстро находить следующий множитель.

Число 180 чётное — делим на 2: $180 : 2 = 90$ .
Число 90 чётное — снова на 2: $90 : 2 = 45$ .
Число 45 нечётное, но сумма цифр $4 + 5 = 9$ делится на 3 — делим: $45 : 3 = 15$ .
Ещё раз на 3: $15 : 3 = 5$ , а потом $5 : 5 = 1$ . Дошли до единицы — стоп!
Собираем множители: $180 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5$ .

Ответ: 180 = 2² · 3² · 5

Пифика в Telegram Подпишись, и ты первым узнаешь о новых темах, заданиях и статьях. Подписаться

Частые ошибки

Считать число 1 простым. Нет! У простого числа ровно два разных делителя, а у единицы — всего один (она сама).
Бросать проверку раньше $n$ . Например, проверить 119 только на 2, 3, 5 и решить, что оно простое. А на самом деле $119 = 7 \cdot 17$ — нужно было дойти до 7!
Путать делитель и кратное. Делитель числа 12 — это, например, 3 (12 делится на 3). А кратное числа 3 — это, например, 12 ( $12 = 3 \cdot 4$ ). Делитель меньше или равен, кратное — больше или равно.
Забывать, что 1 и само число — тоже делители. Из-за этого можно неправильно посчитать делители и записать число не в ту команду.