6 класс Математика 10 мин чтения

Обыкновенные дроби. Основное свойство дроби

Ангелина Владимировна, создатель и методист Пифики

Коротко: Одну и ту же часть целого можно записать разными дробями. Главный секрет: умножь или раздели числитель и знаменатель на одно и то же число — дробь не изменится. На этом держится всё: сокращение, общий знаменатель и сравнение дробей.

Проверь себя · 1 из 3

Какая дробь равна числу

1

Представь: вы с другом заказали пиццу. Ты съел половину, а друг говорит: «А я съел четыре восьмых!» Кто съел больше? Никто — это одно и то же количество, просто записанное по-разному. Дроби — хитрые штуки: одна и та же часть целого может прятаться под разными «масками». В этой статье ты узнаешь главный секрет дробей, который поможет снимать эти маски и видеть, какие дроби на самом деле равны.

Содержание 9

Что такое обыкновенная дробь

Разрежь шоколадку на 8 одинаковых долек и возьми 3 из них. Ты взял $\frac{3}{8}$ шоколадки — это и есть обыкновенная дробь.

В общем виде дробь записывают как $\frac{m}{n}$ :

$m$ — числитель (верхнее число): сколько частей взяли;
$n$ — знаменатель (нижнее число): на сколько равных частей разрезали целое.

Запомнить просто: знаменатель — внизу, как земля. Числитель — сверху.

Важно: знаменатель не бывает нулём. Разрезать шоколадку на 0 частей не получится — делить на ноль нельзя.

Дроби бывают разные:

Правильная дробь — числитель меньше знаменателя ( $m < n$ ). Например, $\frac{3}{8}$ : взяли меньше, чем целая шоколадка. Такая дробь всегда меньше 1.
Неправильная дробь — числитель больше знаменателя или равен ему ( $m \geq n$ ). Например, $\frac{11}{8}$ : это целая шоколадка и ещё 3 дольки от второй. Такая дробь не меньше 1.
Смешанное число — запись вида $a \frac{m}{n}$ : целая часть $a$ плюс правильная дробь $\frac{m}{n}$ . Те же $\frac{11}{8}$ можно записать как $1 \frac{3}{8}$ — одна шоколадка и три дольки.

Основное свойство дроби

Вернёмся к пицце. Разрежь её на 4 куска и возьми 2 — это $\frac{2}{4}$ , то есть половина. А теперь разрежь каждый кусок ещё пополам: кусков стало 8, а у тебя их теперь 4. Это $\frac{4}{8}$ . Пиццы у тебя ни прибавилось, ни убавилось — поменялась только запись!

$\frac{2}{4} = \frac{4}{8}$

Это и есть основное свойство дроби: если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же число (не ноль!), получится дробь, равная исходной.

В виде формул (здесь $a$ — числитель, $b$ — знаменатель, $k$ — число, на которое умножаем или делим): $\frac{a}{b} = \frac{a \cdot k}{b \cdot k} \frac{a}{b} = \frac{a \div k}{b \div k}$

При делении $k$ должно быть общим делителем числителя и знаменателя — чтобы оба делились на него без остатка.

Почему это работает? Когда мы умножаем верх и низ на $k$ , мы на самом деле умножаем дробь на $\frac{k}{k}$ , а это единица. А умножение на 1 ничего не меняет: $\frac{a \cdot k}{b \cdot k} = \frac{a}{b} \cdot \frac{k}{k} = \frac{a}{b} \cdot 1 = \frac{a}{b}$

Сокращение дробей

Дробь $\frac{18}{24}$ выглядит громоздко. Хочется сделать её попроще — для этого её сокращают: делят числитель и знаменатель на их общий делитель.

Быстрее всего — разделить сразу на самый большой общий делитель, он называется НОД (наибольший общий делитель). Для 18 и 24 это 6: $\frac{18}{24} = \frac{18 \div 6}{24 \div 6} = \frac{3}{4}$

Как сокращать:

Найди НОД числителя и знаменателя.
Раздели на него и верх, и низ.

Если НОД сразу не виден — не беда! Сокращай по шагам: сначала на 2, потом ещё на 3... Главное — каждый раз делить верх и низ на одно и то же число.

Когда у числителя и знаменателя не осталось общих делителей, кроме 1 (то есть $НОД (a, b) = 1$ ), дробь называют несократимой — проще её уже не сделать. Это как выжать губку до конца: воды больше не осталось.

Осторожно: сокращение — это только деление! Вычитать или складывать числитель и знаменатель нельзя — дробь от этого изменится.

Приведение дробей к общему знаменателю

Что больше: $\frac{5}{6}$ пиццы или $\frac{7}{9}$ пиццы? Сразу не скажешь — куски-то разного размера! Чтобы сравнить, надо разрезать обе пиццы на одинаковые куски. На языке математики: привести дроби к общему знаменателю.

Удобнее всего брать самый маленький общий знаменатель — это НОК (наименьшее общее кратное) знаменателей. Кратное — это число, которое делится на оба знаменателя без остатка.

Как привести к общему знаменателю:

Найди НОК знаменателей.
Для каждой дроби найди дополнительный множитель: $k = НОК \div b$ , где $b$ — знаменатель этой дроби.
Умножь верх и низ каждой дроби на её дополнительный множитель.

Попробуем с $\frac{5}{6}$ и $\frac{7}{9}$ . Здесь $НОК (6, 9) = 18$ . Дополнительный множитель первой дроби: $18 \div 6 = 3$ , второй: $18 \div 9 = 2$ . Получаем: $\frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 3}{6 \cdot 3} = \frac{15}{18} \frac{7}{9} = \frac{7 \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{14}{18}$

Теперь куски одинаковые — и сразу видно, что $\frac{5}{6}$ больше!

Сравнение дробей

Когда знаменатели одинаковые, всё просто: больше та дробь, у которой числитель больше. Куски одного размера — у кого кусков больше, у того и пиццы больше. Из $\frac{14}{18}$ и $\frac{15}{18}$ больше вторая.

Иногда можно сравнить и без общего знаменателя — лови три хитрости:

Числители равны? Тогда больше та дробь, у которой знаменатель меньше. Звучит странно, но подумай: $\frac{1}{3}$ пиццы — это кусок от пиццы, разрезанной на троих, а $\frac{1}{8}$ — от разрезанной на восьмерых. Чем больше едоков, тем меньше кусок! Поэтому $\frac{1}{3} > \frac{1}{8}$ .
Правильная против неправильной. Правильная дробь всегда меньше 1, а неправильная — больше или равна 1. Значит, правильная всегда проигрывает: $\frac{7}{8} < \frac{9}{8}$ даже без вычислений.
Все остальные случаи — приводи к общему знаменателю и сравнивай числители. Это работает всегда.

Ключевые формулы

\frac{a}{b} = \frac{a \cdot k}{b \cdot k}, k \neq = 0

Основное свойство дроби (умножение):

a

— числитель,

b

— знаменатель,

k

— любое число, кроме нуля. Умножили верх и низ на одно и то же

k

— дробь не изменилась

\frac{a}{b} = \frac{a \div k}{b \div k}, k \neq = 0

Основное свойство дроби (деление, то есть сокращение):

a

— числитель,

b

— знаменатель,

k

— общий делитель чисел

a

b

, не равный нулю

НОД (a, b) = 1

Признак несократимой дроби:

a

— числитель,

b

— знаменатель; их НОД (наибольший общий делитель) равен 1 — общих делителей больше нет

k_{i} = \frac{НОК ( b _{1} , b _{2} , \dots )}{b _{i}}

Дополнительный множитель:

k_{i}

— множитель для дроби номер

i

b_{i}

— её знаменатель, НОК — наименьшее общее кратное всех знаменателей

Запомни

Умножь или раздели числитель и знаменатель на одно и то же число (не ноль) — дробь не изменится. Это главный секрет дробей!
Сократить дробь — значит разделить верх и низ на их общий делитель. Только делить! Складывать и вычитать нельзя.
Дробь несократима, когда у числителя и знаменателя нет общих делителей, кроме 1.
Чтобы привести дроби к общему знаменателю: найди НОК знаменателей, потом умножь верх и низ каждой дроби на её дополнительный множитель.
Если числители равны, больше та дробь, у которой знаменатель меньше: чем больше едоков, тем меньше кусок.

Разбор примеров

Попробуй решить сам, потом сверься с решением.

Пример 1

Сократи дробь

\frac{24}{36}

Подсказка: Не видишь НОД сразу? Сокращай по шагам: сначала на 2, потом ещё на 2, потом на 3 — пока у верха и низа не закончатся общие делители.

Ищем НОД числителя и знаменателя. Делители 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Делители 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. Самый большой общий — это 12, значит $НОД (24, 36) = 12$ .
По основному свойству делим верх и низ на 12: $\frac{24}{36} = \frac{24 \div 12}{36 \div 12} = \frac{2}{3}$ .
Проверяем, что дальше сокращать нечего: $НОД (2, 3) = 1$ — дробь $\frac{2}{3}$ несократима. Готово!

Ответ:

\frac{2}{3}

Пример 2

Приведи дроби

\frac{3}{4}

\frac{5}{6}

к наименьшему общему знаменателю.

Подсказка: Дополнительный множитель показывает, во сколько раз знаменатель дроби меньше общего знаменателя. Умножай на него обязательно и верх, и низ!

Ищем НОК знаменателей. Кратные 4: 4, 8, 12, 16, $\dots$ Кратные 6: 6, 12, 18, $\dots$ Первое общее число — 12, значит $НОК (4, 6) = 12$ .
Находим дополнительные множители. Для первой дроби: $12 \div 4 = 3$ . Для второй: $12 \div 6 = 2$ .
Применяем основное свойство: $\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12}$ и $\frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{10}{12}$ .

Ответ:

\frac{9}{12}

\frac{10}{12}

Пример 3

Сравни дроби

\frac{7}{12}

\frac{5}{8}

Подсказка: «На глаз» дроби сравнивать опасно — они любят обманывать. Приведи к общему знаменателю, и всё станет видно.

Знаменатели разные — приводим к общему. Кратные 12: 12, 24, 36, $\dots$ Кратные 8: 8, 16, 24, $\dots$ Значит $НОК (12, 8) = 24$ .
Дополнительные множители: для $\frac{7}{12}$ это $24 \div 12 = 2$ , для $\frac{5}{8}$ это $24 \div 8 = 3$ .
Переписываем дроби: $\frac{7}{12} = \frac{7 \cdot 2}{12 \cdot 2} = \frac{14}{24}$ и $\frac{5}{8} = \frac{5 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{15}{24}$ .
Теперь куски одинаковые — сравниваем числители: $14 < 15$ , значит $\frac{14}{24} < \frac{15}{24}$ , то есть $\frac{7}{12} < \frac{5}{8}$ .

Ответ:

\frac{7}{12} < \frac{5}{8}

Пример 4

Найди дробь, равную

\frac{5}{7}

, со знаменателем 35, и проверь, что она сокращается обратно до

\frac{5}{7}

Нужно превратить знаменатель 7 в 35. Находим дополнительный множитель: $35 \div 7 = 5$ .
Умножаем верх и низ на 5: $\frac{5}{7} = \frac{5 \cdot 5}{7 \cdot 5} = \frac{25}{35}$ .
Проверяем сокращением в обратную сторону. Так как $НОД (25, 35) = 5$ , получаем $\frac{25}{35} = \frac{25 \div 5}{35 \div 5} = \frac{5}{7}$ . Вернулись к исходной дроби — всё сошлось!

Ответ:

\frac{25}{35}

Пифика в Telegram Подпишись, и ты первым узнаешь о новых темах, заданиях и статьях. Подписаться

Частые ошибки

Сокращают вычитанием: из $\frac{6}{9}$ «убирают по 3» и получают $\frac{3}{6}$ . Это неверно! Сокращать можно только делением: $\frac{6}{9} = \frac{6 \div 3}{9 \div 3} = \frac{2}{3}$ .
Умножают числитель на одно число, а знаменатель на другое. Так дробь меняется! Множитель должен быть один и тот же для верха и низа.
При приведении к общему знаменателю умножают только знаменатель, а про числитель забывают — и получают совсем другую дробь.
Думают: знаменатель больше — значит, и дробь больше. Наоборот! $\frac{1}{8} < \frac{1}{3}$ : пицца на восьмерых даёт куски меньше, чем пицца на троих.