Масштаб. Длина окружности и площадь круга

Представь: ты рисуешь план своей комнаты на листочке. Комната длиной $4$ м на лист не влезет, поэтому ты уменьшаешь её, например, в $100$ раз. Вот это «во сколько раз уменьшили» и есть масштаб.

Масштаб — это отношение длины отрезка на чертеже (карте, плане) к длине этого же отрезка в реальности.

Запись $1:n$ читается так: $1$ единица длины на чертеже — это $n$ таких же единиц в жизни. Буква $n$ здесь — просто число, во сколько раз уменьшили.

Какой бывает масштаб:

• Масштаб уменьшения $1:n$ (где $n>1$) — настоящий объект больше картинки. Например, $1:100000$: один сантиметр на карте — это $100000$ см, то есть $1$ км по-настоящему. Так рисуют карты городов и стран.
• Масштаб увеличения $n:1$ (где $n>1$) — картинка больше объекта. Так чертят крошечные детали телефона или рисуют микробов: иначе ничего не разглядеть.
• Натуральный масштаб $1:1$ — на чертеже всё точь-в-точь как в жизни.

Договоримся о буквах (они будут во всех формулах):

• $l$ — длина на чертеже или карте (маленькая, «бумажная»);
• $L$ — настоящая длина в реальности (большая, «живая»);
• $M$ — масштаб, записанный дробью. Например, масштаб $1:50000$ — это $M=\frac{1}{50000}$.

Масштаб — это «бумажная» длина, делённая на настоящую: $M=\frac{l}{L}$

Из одной этой формулы получаются ещё две — смотря что ищем:

• хотим длину на карте: $l=M\cdot L$;
• хотим настоящую длину: $L=\frac{l}{M}$.

Запомнить легко: чтобы из карты попасть в реальность, нужно увеличить — то есть умножить на знаменатель масштаба.

Проверим на примере. Масштаб карты $1:1000000$, отрезок на карте $3$ см. Настоящее расстояние: $L=3\cdot 1000000=3000000\text{ см}=30\text{ км}$

Три сантиметра на бумаге — тридцать километров пешком. Чувствуешь силу масштаба?

Возьми циркуль и нарисуй круглую линию. Эта линия — окружность. А дырочка от иголки в центре — её центр.

Окружность — замкнутая линия, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от центра.

• Радиус $r$ — отрезок от центра до любой точки окружности (это как раз раствор твоего циркуля).
• Диаметр $d$ — отрезок через центр от одного края окружности до другого. Он ровно вдвое длиннее радиуса: $d=2r$.
• Круг — вся «начинка»: окружность вместе со всем, что внутри неё.

Простой способ запомнить разницу: окружность — это обруч (одна линия), а круг — это блин (целая фигура). У обруча есть длина, у блина — площадь. Поэтому говорят «длина окружности» и «площадь круга». А «площадь окружности» — ошибка: у линии площади нет!

Сделай опыт: оберни ниткой крышку банки, измерь нитку — получишь длину окружности $C$. Потом измерь диаметр крышки $d$. Раздели первое на второе. Получится примерно $3,14$. Возьми тарелку, колесо, монетку — выйдет то же самое число!

$\frac{C}{d}=\pi \approx 3,14159\dots$

Это число назвали $\pi$ (читается «пи»). Оно иррациональное — значит, его цифры после запятой никогда не закончатся и не начнут повторяться. Для задач в 6 классе хватает приближения $\pi \approx 3,14$.

Из равенства $\frac{C}{d}=\pi$ сразу получается формула длины окружности: $C=\pi d=2\pi r$

Почему у всех окружностей это отношение одно и то же? Потому что все окружности — увеличенные или уменьшенные копии друг друга (говорят: они подобны). Увеличишь радиус в $k$ раз — длина окружности тоже вырастет в $k$ раз. А когда верх и низ дроби растут одинаково, сама дробь не меняется.

Длина окружности $C$ — это путь, который ты пройдёшь, обойдя круглую клумбу ровно один раз. Или путь точки на колесе за один оборот. $C=2\pi r=\pi d$

Площадь круга $S$ — сколько места занимает «блин» на плоскости. Например, сколько теста уходит на пиццу. $S=\pi r^2$

Откуда взялась эта формула? Фокус: разрежь круг (мысленно!) на много-много тонких долек, как пиццу, и выложи их зубчиками вверх-вниз. Получится почти прямоугольник. Его длина — половина окружности, то есть $\pi r$, а высота — радиус $r$. Площадь прямоугольника: $\pi r\cdot r=\pi r^2$. Вот и вся магия.

Главная ловушка: в формуле площади стоит радиус, а в задаче часто дают диаметр. Не спеши! Сначала найди радиус: $r=\frac{d}{2}$, и только потом подставляй.