Целые числа. Положительные и отрицательные числа

Числа, которыми ты считал с первого класса — $1,2,3,\dots$ — называются натуральными. Ими удобно считать конфеты, шаги, уровни в игре. Добавим к ним нуль — получим целые неотрицательные числа.

Но жизнь хитрее. Бывает мороз ниже нуля. Бывает долг — деньги «меньше, чем ничего». Бывает глубина — высота ниже уровня моря. Для таких величин придумали отрицательные числа: перед числом ставят знак минус — $-1,-2,-100$. Запись $-3$ читается «минус три».

Целые числа — это все натуральные числа, нуль и отрицательные «двойники» натуральных: $\dots ,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots$ Всё это семейство обозначают буквой $\mathbb{Z}$. Оно бесконечно в обе стороны: какое бы огромное число ты ни назвал, найдётся ещё больше; какое бы маленькое — найдётся ещё меньше.

Целые числа удобно представлять как дома на одной длинной улице — на координатной прямой. Строится она так: чертим прямую, выбираем точку — начало отсчёта (там живёт нуль), отмечаем единичный отрезок (один «шаг») и направление: вправо — положительное.

• Числа $1,2,3,\dots$ шагают вправо от нуля.
• Числа $-1,-2,-3,\dots$ шагают влево от нуля на такие же расстояния.

Числа $3$ и $-3$ — как отражения в зеркале: стоят по разные стороны от нуля на одинаковом расстоянии. Такие числа называются противоположными. Число, противоположное числу $a$ (здесь $a$ — любое число), записывают как $-a$. У нуля противоположное — он сам: $-0=0$.

Если сложить противоположные числа, они «гасят» друг друга: $a+(-a)=0.$ По-житейски: заработал 50 рублей и потратил 50 рублей — остался при своих, в нуле.

Теперь модуль. Это просто расстояние от числа до нуля на координатной прямой. Обозначается двумя палочками: $|a|$. Расстояние не бывает отрицательным — идёшь ты влево или вправо, шаги всё равно считаются одинаково!

Через знак числа модуль записывают так: $|a|=a$, если $a\ge 0$; и $|a|=-a$, если $a<0$ (минус «снимает» минус).

Примеры: $|7|=7$, $|-7|=7$, $|0|=0$.

Запомни три свойства модуля:

• $|a|\ge 0$ — модуль никогда не отрицательный;
• $|a|=|-a|$ — у числа и его «зеркального двойника» модули равны;
• $|a|=0$ только когда $a=0$.

Коротко: модуль говорит, как далеко число от нуля, но молчит о том, в какую сторону.

Сравнивать можно не только глядя на прямую, но и по четырём правилам:

1. Положительное число всегда больше нуля, отрицательное — всегда меньше нуля. Если $a>0$ и $b<0$, то $a>0>b$.

1. Любое положительное больше любого отрицательного. Даже крошечная $1$ больше громадного $-1000$.

1. Из двух положительных больше то, у которого больше модуль — сравниваем как обычные числа: $5>3$.

1. Из двух отрицательных больше то, у которого модуль МЕНЬШЕ: $-3>-5$, потому что $|-3|<|-5|$, то есть $3<5$.

Четвёртое правило — главный источник ошибок, поэтому держи картинку: долг 3 рубля «лучше» долга 5 рублей. Должен меньше — у тебя как бы больше денег. Значит, $-3>-5$.

Знак числа показывает направление от нуля, а нуль — это просто договорённость, точка отсчёта:

• Температура: $+20{}^{\circ }\text{C}$ — тепло, можно гулять в футболке; $-20{}^{\circ }\text{C}$ — мороз, нужна шапка.
• Высота: вершина Эвереста — $+8848$ м, а берег Мёртвого моря — $-430$ м (он НИЖЕ уровня океана).
• Деньги: получил $+500$ руб. — стало больше; потратил — это $-500$ руб.
• История: $+2025$ год нашей эры и $-44$ год (то есть 44 год ДО нашей эры).

Везде одна схема: знак говорит, в какую сторону от нуля мы ушли, а модуль — насколько далеко. Отрицательные числа придумали не для развлечения математиков — они выросли из настоящих задач про долги, морозы и глубины.