Сложение и вычитание целых чисел

Целые числа — это знакомые тебе $1,2,3,\dots$, их «двойники с минусом» $-1,-2,-3,\dots$ и ноль. Всё это множество обозначают буквой $\mathbb{Z}$.

Удобнее всего представлять их на числовой прямой — линейке, которая тянется в обе стороны. Каждому числу на ней соответствует точка. Числа правее нуля — положительные, левее нуля — отрицательные. Сам ноль — нейтральный: он не положительный и не отрицательный.

Теперь главный помощник этой темы — модуль. Модуль числа $a$ (здесь $a$ — любое число) — это просто расстояние от точки $a$ до нуля. Записывают так: $|a|$. Расстояние не бывает отрицательным, поэтому модуль всегда $\ge 0$.

$|7|=7,|-7|=7,|0|=0.$

Смотри: и $7$, и $-7$ стоят на одинаковом расстоянии от нуля — по $7$ шагов, только в разные стороны. Формально это записывают так: $|a|=a\text{,allowbreakесли }a\ge 0;|a|=-a\text{,allowbreakесли }a<0.$

Числа, которые отличаются только знаком, называют противоположными: $5$ и $-5$, $-12$ и $12$. Если их сложить, они «гасят» друг друга: $a+(-a)=0.$ Как $5$ шагов вправо и $5$ шагов влево — ты вернёшься туда, откуда начал.

Случай 1. Числа одного знака.

Если ты должен другу $3$ конфеты и ещё $7$ конфет — всего ты должен $10$. Долг плюс долг — долг побольше. Правило: складываем модули и ставим общий знак.

$3+7=10;(-3)+(-7)=-(3+7)=-10.$

Случай 2. Числа разных знаков.

А тут — перетягивание каната! Минус тянет в одну сторону, плюс — в другую. Побеждает тот, у кого модуль больше. Правило: из большего модуля вычитаем меньший, а знак берём у «победителя» — у числа с большим модулем.

Разберём $(-8)+5$:

• Модули: $|-8|=8$ и $|5|=5$.
• Из большего вычитаем меньший: $8-5=3$.
• Чей модуль больше? У числа $-8$. Значит, знак минус.

$(-8)+5=-3.$

Ещё пример: $(-4)+9=9-4=5$. Здесь победил плюс, потому что $|9|>|-4|$.

Если модули равны — ничья, и сумма равна нулю: $(-6)+6=0$. Это как раз противоположные числа.

Хорошая новость: привычные свойства сложения работают и с минусами:

• Переместительное: $a+b=b+a$ — слагаемые можно менять местами.
• Сочетательное: $(a+b)+c=a+(b+c)$ — группировать можно как удобно.

Здесь всего ОДНО правило, зато золотое: вычесть число — то же самое, что прибавить противоположное.

$a-b=a+(-b)$

Зачем это нужно? Любое вычитание превращается в сложение — а складывать ты уже умеешь!

Почему это работает? Вычесть $b$ — значит шагнуть по числовой прямой на $|b|$ шагов в сторону, противоположную числу $b$. Но прибавить $(-b)$ — это ровно те же шаги в ту же сторону. Два разных описания одного и того же движения.

Смотри, как это выручает:

• $5-9=5+(-9)=-4$ — было $5$ рублей, потратил $9$, ушёл в минус.
• $(-3)-4=(-3)+(-4)=-7$ — был долг $3$, добавился долг $4$.
• $(-6)-(-2)=(-6)+2=-4$ — у тебя долг $6$, и тебе простили $2$ — долг уменьшился!
• $7-(-5)=7+5=12$.

Обрати внимание на последний пример: когда вычитаешь отрицательное число, результат становится больше. Забрать у тебя долг — всё равно что подарить деньги. Именно в этом смысле «минус на минус даёт плюс»: $a-(-b)=a+b.$

Когда в выражении есть скобки, их можно «раскрыть» — убрать. Правила такие:

• Перед скобкой стоит «$+$»: $a+(b-c)=a+b-c$ — знаки внутри не меняются. Плюс — добрый, он всё оставляет как есть.
• Перед скобкой стоит «$-$»: $a-(b-c)=a-b+c$ — знак каждого слагаемого внутри меняется на противоположный. Минус — вредный, он переворачивает всё, что найдёт в скобках.

Пример: $10-(3-7)=10-3+7=14.$

Не веришь? Проверим по-честному, сначала посчитав скобку: $3-7=-4$, тогда $10-(-4)=10+4=14$. Сошлось!

И ещё лайфхак для длинных сумм: собирай слагаемые «по командам» — отдельно положительные, отдельно отрицательные. Свойства сложения это разрешают: $(-5)+8+(-3)+2=(8+2)+((-5)+(-3))=10+(-8)=2.$ Так считать гораздо легче, чем идти подряд.