Отношения и пропорции

У тебя 10 конфет, а у друга 5. Во сколько раз у тебя больше? Делим: $10:5=2$ — в два раза. Вот ты и нашёл отношение!

Отношение числа $a$ к числу $b$ — это просто частное $a:b$ (делить на ноль нельзя, поэтому $b\ne 0$). Его можно записать и дробью: $\frac{a}{b}$. Отношение отвечает на вопрос: во сколько раз $a$ больше $b$ или какую часть от $b$ составляет $a$.

Раз отношение — это дробь, с ним можно делать то же, что с дробью. Главный трюк: умножь или раздели оба числа на одно и то же $k$ (любое число, кроме нуля) — отношение не изменится: $\frac{a}{b}=\frac{a\cdot k}{b\cdot k}.$ Поэтому отношения можно сокращать: $20:30=2:3$. Смысл тот же, числа меньше — красота!

Первое число ($a$) называют предыдущим членом, второе ($b$) — последующим. Порядок важен! «У меня вдвое больше конфет, чем у тебя» и «у тебя вдвое больше, чем у меня» — это очень разные новости. Так что $a:b$ и $b:a$ — обычно разные отношения.

И ещё правило: сравнивать можно только величины в одинаковых единицах. Метры — с метрами, минуты — с минутами. Сравнить метры с килограммами не получится: это как спросить, во сколько раз пицца вкуснее понедельника.

Смотри: $\frac{4}{6}$ и $\frac{10}{15}$ — на вид разные дроби, но обе равны $\frac{2}{3}$. Когда два отношения равны, получается пропорция: $\frac{a}{b}=\frac{c}{d},b\ne 0,d\ne 0.$ Читают так: «$a$ относится к $b$, как $c$ относится к $d$». Здесь $a$, $b$, $c$, $d$ — просто четыре числа, из которых построена пропорция.

У членов пропорции есть имена. Числа $a$ и $d$ стоят с краёв записи $a:b=c:d$ — это крайние члены. Числа $b$ и $c$ стоят в середине — это средние члены.

А теперь суперспособность пропорции. Основное свойство: произведение крайних равно произведению средних: $a\cdot d=b\cdot c.$ Запомнить легко: перемножаем «крест-накрест» — и слева, и справа получится одно и то же.

Откуда это берётся? Возьмём равенство $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ и умножим обе части на $b\cdot d$. Слева: $\frac{a}{b}\cdot b\cdot d=a\cdot d$. Справа: $\frac{c}{d}\cdot b\cdot d=b\cdot c$. Части были равны — значит, равны и результаты: $a\cdot d=b\cdot c$.

Это свойство — твой рабочий инструмент. Им можно проверять, настоящая ли перед тобой пропорция, и находить неизвестное число.

Часто в пропорции одно число спрятано — обозначим его $x$ («икс» — это просто число, которое мы ищем). Достать его помогает основное свойство.

Пусть неизвестен крайний член: $\frac{x}{b}=\frac{c}{d}$. Перемножаем крест-накрест: $x\cdot d=b\cdot c$. Делим обе части на $d$ и получаем: $x=\frac{b\cdot c}{d}.$

Если неизвестен средний член, например $\frac{a}{b}=\frac{x}{d}$, то $a\cdot d=b\cdot x$, и тогда $x=\frac{a\cdot d}{b}$.

Отсюда удобное правило:

• неизвестный крайний = произведение средних, делённое на известный крайний;
• неизвестный средний = произведение крайних, делённое на известный средний.

Короче: перемножь два числа из «чужой» пары и раздели на соседа по «своей». Это главный приём во всех задачах на пропорции.

Пропорция — штука гибкая. Из одной верной пропорции $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ можно собрать несколько других, и все они тоже будут верными. Секрет в том, что все они при перемножении крест-накрест дают одно и то же равенство $a\cdot d=b\cdot c$.

1. Поменять местами крайние: $\frac{d}{b}=\frac{c}{a}$.

2. Поменять местами средние: $\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$.

3. Перевернуть обе дроби: $\frac{b}{a}=\frac{d}{c}$.

Не веришь — проверь: перемножь крайние и средние в любой из этих записей, и снова получится $a\cdot d=b\cdot c$. Зачем это нужно? Чтобы «перетащить» неизвестное число в удобное место и считать без мучений.

Две величины могут быть связаны по-разному. Сравни две истории.

История 1. Шоколадка стоит 80 рублей. Купишь в 3 раза больше шоколадок — заплатишь в 3 раза больше. Это прямая пропорциональность: одна величина растёт — и вторая растёт во столько же раз. Их отношение не меняется: $\frac{y}{x}=k$, где $x$ и $y$ — наши величины, а $k$ — постоянное число. Примеры: путь и время при одной скорости, стоимость и количество товара.

История 2. Один человек съедает пиццу за 8 минут. Позови друга — вдвоём управитесь вдвое быстрее. Это обратная пропорциональность: одна величина растёт в несколько раз — другая во столько же раз падает. Тут не меняется произведение: $x\cdot y=k$. Примеры: скорость и время на одном пути, число рабочих и время работы.

Как составить пропорцию в задаче:

• сначала пойми, какая зависимость: «больше — больше» (прямая) или «больше — меньше» (обратная);
• при прямой зависимости отношения пишут «в одну сторону»: $\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}$ (здесь $x_1,y_1$ — старые значения величин, $x_2,y_2$ — новые);
• при обратной — «крест-накрест»: $\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_2}{y_1}$ (одно из отношений переворачиваем).