Модуль числа

Нарисуй координатную прямую — это как линейка, только с нулём посередине: справа положительные числа, слева отрицательные.

Модуль числа $a$ — это расстояние от точки с координатой $a$ до нуля. Здесь $a$ — просто любое число, которое мы взяли. Записывают модуль двумя вертикальными чёрточками: $|a|$.

Например, $|7|=7$: от точки $7$ до нуля ровно $7$ шагов. И $|-7|=7$ — от точки $-7$ до нуля тоже $7$ шагов, просто в другую сторону. Шаги-то те же самые!

Расстояние не бывает отрицательным (нельзя пройти «минус три шага»), поэтому модуль всегда больше нуля или равен нулю. Отсюда правило для вычислений:

$|a|=\{\begin{array}{ll}a,& \text{если }a\ge 0,\\ -a,& \text{если }a<0.\end{array}$

Читаем по-человечески:

• Если число положительное или ноль — модуль равен самому числу: $|7|=7$, $|0|=0$.
• Если число отрицательное — меняем у него знак: $|-5|=-(-5)=5$. Запись $-a$ не значит «отрицательное число»! Это значит «число с противоположным знаком». Если $a=-5$, то $-a=5$ — уже положительное.

Помнишь Мишу и Аню из начала? Их дома $5$ и $-5$ стоят зеркально по разные стороны от твоего дома-нуля. Такие числа называются противоположными: они отличаются только знаком — $a$ и $-a$.

Раз дома стоят зеркально, то и расстояние до нуля у них одинаковое. Получаем важное свойство: модули противоположных чисел равны:

$|a|=|-a|.$

Например: $|3|=|-3|=3$, а ещё $|-7,4|=|7,4|=7,4$.

Из этого следует хитрая вещь: если тебе сказали только модуль, угадать само число нельзя! «Расстояние до нуля равно $5$» — это может быть и $5$, и $-5$. Поэтому уравнение $|x|=5$ имеет сразу два решения: $x=5$ и $x=-5$. Здесь $x$ — неизвестное число, которое мы ищем.

Эти свойства — твои шпаргалки для быстрых вычислений. Везде $a$ и $b$ — любые числа.

1. Модуль не бывает отрицательным: $|a|\ge 0$ всегда. Причём $|a|=0$ только в одном случае — когда само $a=0$ (до нуля от нуля идти никуда не надо).

2. Модули противоположных чисел равны: $|a|=|-a|$.

3. Модуль произведения равен произведению модулей: $|a\cdot b|=|a|\cdot |b|$. Проверим: $|(-3)\cdot 4|=|-12|=12$. А теперь по-другому: $|-3|\cdot |4|=3\cdot 4=12$. Сошлось!

4. Модуль частного (частное — это результат деления): $\left|\frac{a}{b}\right|=\frac{|a|}{|b|}$, только $b\ne 0$ — на ноль делить нельзя.

5. Квадрат модуля: $|a{|}^2=a^2$. Логично: при умножении числа на само себя минус всё равно исчезает, ведь минус на минус даёт плюс.

В 6 классе эти свойства нужны для вычислений — доказывать их пока не требуется.

Твой дом — это точка $a$, дом друга — точка $b$. Сколько между ними шагов? Считается так:

$d=|a-b|,$

где $d$ — расстояние между точками. Можно и наоборот: $|b-a|$ — получится то же самое.

Почему нужен модуль? Разность $a-b$ может выйти отрицательной — смотря какая точка правее. А расстояние отрицательным быть не может. Модуль это и чинит: оставляет только «сколько шагов», убирая знак.

Пример. Расстояние между точками $-3$ и $5$: $|-3-5|=|-8|=8.$ Проверь по прямой: от $-3$ до нуля — $3$ шага, от нуля до $5$ — ещё $5$. Всего $3+5=8$. Сходится!

А если измерить расстояние от точки $a$ до нуля, получится $|a-0|=|a|$ — то самое определение модуля, с которого мы начали. Круг замкнулся.

С положительными числами всё ясно, а вот отрицательные любят запутывать. Запомни правило:

Из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше.

Звучит наоборот, но смотри. Представь температуру: $-2$ градуса теплее, чем $-7$. Проверим через модули: $|-7|=7$, а $|-2|=2$. Модуль у $-2$ меньше, значит $-2>-7$.

На координатной прямой это видно сразу: точка $-2$ стоит правее точки $-7$. А главное правило прямой такое: чем правее точка, тем больше число. Модуль просто подсказывает, кто из отрицательных чисел ближе к нулю — тот и больше.