Сумма углов треугольника

Треугольник $ABC$ — это фигура, образованная тремя точками, не лежащими на одной прямой (вершинами $A$, $B$, $C$), и тремя отрезками (сторонами $AB$, $BC$, $CA$).

Внутренний угол треугольника — угол, образованный двумя сторонами, исходящими из одной вершины, внутри фигуры. В треугольнике $ABC$ три внутренних угла: $\angle A$ (или $\angle BAC$), $\angle B$ (или $\angle ABC$) и $\angle C$ (или $\angle BCA$).

Каждый угол треугольника строго больше $0^{\circ }$ и строго меньше $180^{\circ }$.

Доказательство (через прямую, параллельную стороне).

Пусть дан треугольник $ABC$. Проведём через вершину $B$ прямую $MN$, параллельную стороне $AC$ (то есть $MN\parallel AC$).

1. Углы $\angle MBA$ и $\angle BAC$ — накрест лежащие при секущей $AB$ и параллельных прямых $MN$ и $AC$, поэтому $\angle MBA=\angle BAC$.
2. Углы $\angle NBC$ и $\angle BCA$ — накрест лежащие при секущей $BC$ и параллельных прямых $MN$ и $AC$, поэтому $\angle NBC=\angle BCA$.
3. Углы $\angle MBA$, $\angle ABC$ и $\angle NBC$ образуют развёрнутый угол у точки $B$ на прямой $MN$, поэтому $\angle MBA+\angle ABC+\angle NBC=180^{\circ }$.
4. Подставляя равенства из пунктов 1 и 2: $\angle BAC+\angle ABC+\angle BCA=180^{\circ }$.

Что и требовалось доказать.

Зная, что сумма углов равна $180^{\circ }$, можно классифицировать треугольники по их углам.

• Остроугольный — все три угла острые (каждый меньше $90^{\circ }$).
• Прямоугольный — один угол равен $90^{\circ }$, два других в сумме дают $90^{\circ }$.
• Тупоугольный — один угол тупой (больше $90^{\circ }$), два других острые.

В треугольнике не может быть двух прямых или двух тупых углов: их сумма уже превысила бы $180^{\circ }$.

Внешний угол треугольника — угол, смежный с одним из его внутренних углов. Он образуется продолжением одной из сторон треугольника за вершину.

Если $\angle BCD$ — внешний угол треугольника $ABC$ при вершине $C$ (сторона $BC$ продолжена за точку $C$), то $\angle BCD=\angle A+\angle B$.

Почему? Внутренний угол $\angle C$ и внешний $\angle BCD$ — смежные, их сумма $180^{\circ }$. При этом $\angle A+\angle B+\angle C=180^{\circ }$, значит $\angle A+\angle B=180^{\circ }-\angle C=\angle BCD$.

Следствие: внешний угол треугольника больше каждого из несмежных с ним внутренних углов.