Аксиома параллельных прямых и следствия из неё

Это утверждение принимается без доказательства — оно является основой евклидовой геометрии, которую мы изучаем в школе. Именно из него вытекают все свойства параллельных прямых.

Когда третья прямая (секущая) пересекает две прямые, образуются несколько пар углов. Угловые пары получили специальные названия:

• Накрест лежащие углы — находятся по разные стороны от секущей и между прямыми.
• Односторонние (соответственные) углы — лежат по одну сторону от секущей; один между прямыми, другой снаружи.
• Сонаправленные (внутренние односторонние) углы — по одну сторону от секущей, оба между прямыми.

Пусть $a\parallel b$, секущая $c$ пересекает $a$ в точке $A$ и $b$ в точке $B$. Тогда углы $\angle 1$ и $\angle 2$, лежащие накрест относительно секущей, удовлетворяют равенству $\angle 1=\angle 2$.

Доказательство идеи. Предположим, что $\angle 1\ne \angle 2$. Тогда через точку $A$ можно провести прямую $a_1$ такую, что накрест лежащий угол с $b$ будет равен $\angle 2$. По признаку параллельности $a_1\parallel b$. Но $a\parallel b$ тоже, и $a\ne a_1$ — это противоречит аксиоме (через $A$ только одна прямая параллельна $b$). Значит, $\angle 1=\angle 2$.

Соответственные углы занимают одинаковое положение относительно точек пересечения: оба «над» прямыми слева, или оба «под» прямыми справа и т. д.

Формально: $\angle 1=\angle 3$, где $\angle 1$ и $\angle 3$ — соответственные углы при $a\parallel b$ и секущей $c$.

Почему так? Соответственный угол $\angle 3$ является смежным (или вертикальным) с накрест лежащим углом $\angle 2$. А мы уже знаем, что $\angle 1=\angle 2$. Поэтому $\angle 1=\angle 3$.

Внутренние односторонние углы — это два угла, которые лежат по одну сторону от секущей между параллельными прямыми.

Формально: $\angle 1+\angle 4=180^{\circ }$, где $\angle 1$ и $\angle 4$ — внутренние односторонние углы.

Почему так? Угол $\angle 4$ смежный с накрест лежащим углом $\angle 2$: $\angle 2+\angle 4=180^{\circ }$ (смежные углы в сумме дают $180^{\circ }$). Так как $\angle 1=\angle 2$ (накрест лежащие при параллельных прямых), получаем $\angle 1+\angle 4=180^{\circ }$.

Итог: три пары условий параллельности и свойства

Свойство и признак звучат одинаково, только в обратную сторону: если прямые параллельны, то углы такие, и если углы такие, то прямые параллельны.

Формально: если $a\parallel c$ и $b\parallel c$, то $a\parallel b$.

Доказательство. Предположим, что $a$ и $b$ пересекаются в некоторой точке $P$. Тогда через $P$ проходят две прямые, параллельные $c$: прямые $a$ и $b$. Но по аксиоме через точку $P$ можно провести только одну прямую, параллельную $c$. Противоречие. Следовательно, $a\parallel b$.

Это свойство часто применяется в задачах, когда параллельность нескольких прямых не задана явно, а устанавливается через «посредника».