9 класс Геометрия 8 мин чтения

Объёмы цилиндра, конуса и шара

Q: Как найти объём цилиндра и конуса?

Объём цилиндра V = π r² h. Объём конуса с тем же основанием и высотой в три раза меньше: V = 1/3π r² h.

Q: Как найти объём шара?

По формуле V = 4/3π R³. Шар радиуса 3 имеет объём 4/3π · 27 = 36π.

Ангелина Владимировна, создатель и методист Пифики

Коротко: Объём цилиндра

V = π r^{2} h

, объём конуса в 3 раза меньше:

V = \frac{1}{3} π r^{2} h

, объём шара

V = \frac{4}{3} π R^{3}

. Пример: у цилиндра с

r = 3

h = 5

объём

45 π

, у конуса с такими же размерами

15 π

, а у шара радиуса 3 объём

36 π

. Если в задаче дан диаметр, сначала раздели его пополам.

Проверь себя · 1 из 3

Радиус основания цилиндра равен

4

, высота равна

6

. Чему равен объём цилиндра?

Объём — это мера того, сколько пространства занимает тело. Без этих формул не обойтись ни при расчёте ёмкости бака или трубы, ни при изготовлении мороженого в вафельном конусе, ни при проектировании спортивного мяча.

V_цил = πr²h; V_кон = πr²h/3; V_шара = 4πr³/3

Содержание 10

Что такое тело вращения

Цилиндр, конус и шар — это тела вращения: каждое из них получается вращением плоской фигуры вокруг оси.

Цилиндр — вращение прямоугольника вокруг одной из его сторон. Две основания — круги радиуса $r$ , расстояние между ними — высота $h$ .
Конус — вращение прямоугольного треугольника вокруг катета. Основание — круг радиуса $r$ , вершина — точка на оси, высота $h$ — перпендикуляр от вершины к основанию.
Шар — вращение полукруга вокруг диаметра. Единственный параметр — радиус $R$ .

Осевое сечение — сечение плоскостью, проходящей через ось вращения. У цилиндра это прямоугольник, у конуса — равнобедренный треугольник, у шара — круг.

Объём цилиндра

Идея вывода. Цилиндр — это «стопка» очень тонких круглых дисков. Площадь каждого диска равна $S = π r^{2}$ , а суммарная толщина всех дисков равна высоте $h$ . Поэтому объём цилиндра:

$V_{цил} = π r^{2} h$

где $r$ — радиус основания, $h$ — высота.

Полная поверхность цилиндра (для справки): $S = 2 π r h + 2 π r^{2}$ , но объём зависит только от $r$ и $h$ .

Практическое правило: если дан диаметр $d$ , то $r = \frac{d}{2}$ , и не забудьте подставлять именно $r$ , а не $d$ .

Объём конуса

Ключевой факт: конус, вписанный в цилиндр с теми же основанием и высотой, занимает ровно треть его объёма. Это можно доказать с помощью принципа Кавальери (в 11 классе) или наглядно проверить опытом с водой.

Отсюда формула:

$V_{кон} = \frac{1}{3} π r^{2} h$

где $r$ — радиус основания, $h$ — высота (перпендикуляр от вершины к плоскости основания).

Образующая конуса $l$ — отрезок от вершины до точки на окружности основания. По теореме Пифагора: $l^{2} = r^{2} + h^{2}$ . Образующая нужна для площади боковой поверхности, но не для объёма — в формулу объёма входит только высота $h$ .

Объём шара

Шар радиуса $R$ имеет объём:

$V_{шар} = \frac{4}{3} π R^{3}$

Эту формулу вывел Архимед: он доказал, что объём шара равен двум третям объёма описанного вокруг него цилиндра (у которого $r = R$ , $h = 2 R$ ).

Проверим логику: объём того цилиндра $π R^{2} \cdot 2 R = 2 π R^{3}$ , и $\frac{2}{3} \cdot 2 π R^{3} = \frac{4}{3} π R^{3}$ — сходится.

Шаровой сегмент и сектор — части шара, отсекаемые плоскостью; их формулы изучают позже. В 9 классе нужна только формула полного шара.

Диаметр и радиус: если дан диаметр $d$ , то $R = \frac{d}{2}$ , и объём содержит $R^{3}$ — не забудьте возвести в куб именно радиус.

Сравнение трёх формул и типичные задачи

Удобно держать в голове связь между тремя телами при одинаковых $r$ и $h = 2 R$ :

Тело	Формула объёма	Доля от цилиндра
Цилиндр ( $r$ , $h$ )	$π r^{2} h$	1
Конус ( $r$ , $h$ )	$\frac{1}{3} π r^{2} h$	$\frac{1}{3}$
Шар ( $R = r$ , $h = 2 r$ )	$\frac{4}{3} π r^{3}$	$\frac{2}{3}$

Типичные задачи:

Найти объём тела по заданным размерам — прямое применение формулы.
Найти радиус или высоту по заданному объёму — решить уравнение относительно нужного параметра.
Сравнить объёмы двух тел или найти их отношение.
Составные тела — конус на цилиндре, шар в цилиндре и т.п.; объём считается как сумма или разность.

Ключевые формулы

V_{цил} = π r^{2} h

Объём цилиндра (радиус r, высота h)

V_{кон} = \frac{1}{3} π r^{2} h

Объём конуса (радиус основания r, высота h)

V_{шар} = \frac{4}{3} π R^{3}

Объём шара (радиус R)

l = r^{2} + h^{2}

Образующая конуса через r и h (теорема Пифагора)

Запомни

Объём конуса в 3 раза меньше объёма цилиндра с теми же основанием и высотой.
В формулу объёма шара входит $R^{3}$ — радиус в кубе, а не в квадрате.
Высота конуса $h$ — это перпендикуляр от вершины к основанию, а не образующая $l$ .
Если дан диаметр, сначала найди радиус: $r = \frac{d}{2}$ , и только потом подставляй в формулу.
Единицы объёма — кубические: если размеры в см, ответ в $см^{3}$ ; если в дм — в $дм^{3}$ .

Разбор примеров

Попробуй решить сам, потом сверься с решением.

Пример 1

Цилиндр имеет радиус основания

r = 3

см и высоту

h = 5

см. Найдите его объём.

Запишем формулу объёма цилиндра: $V = π r^{2} h$ .
Подставим данные: $V = π \cdot 3^{2} \cdot 5 = π \cdot 9 \cdot 5 = 45 π$ см $^{3}$ .
Приближённое значение: $45 π \approx 45 \cdot 3, 14 \approx 141, 3$ см $^{3}$ .

Ответ:

V = 45 π \approx 141, 3 см

^{3}

Пример 2

Конус имеет радиус основания

r = 6

см и высоту

h = 7

см. Найдите объём конуса.

Запишем формулу: $V = \frac{1}{3} π r^{2} h$ .
Подставим: $V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot 6^{2} \cdot 7 = \frac{1}{3} \cdot π \cdot 36 \cdot 7$ .
$\frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 7 = 12 \cdot 7 = 84$ , поэтому $V = 84 π$ см $^{3}$ .
Приближённо: $84 π \approx 263, 9$ см $^{3}$ .

Ответ:

V = 84 π \approx 263, 9 см

^{3}

Пример 3

Диаметр шара равен

d = 6

дм. Найдите объём шара.

Подсказка: Когда дан диаметр, обязательно делите на 2 до подстановки — иначе ошибка в 8 раз.

Находим радиус: $R = \frac{d}{2} = \frac{6}{2} = 3 дм$ .
Записываем формулу: $V = \frac{4}{3} π R^{3}$ .
Подставляем: $V = \frac{4}{3} \cdot π \cdot 3^{3} = \frac{4}{3} \cdot π \cdot 27$ .
$\frac{4}{3} \cdot 27 = 4 \cdot 9 = 36$ , поэтому $V = 36 π$ дм $^{3}$ .
Приближённо: $36 π \approx 113, 1$ дм $^{3}$ .

Ответ:

V = 36 π \approx 113, 1 дм

^{3}

Пример 4

На цилиндр (радиус

r = 4

см, высота

h_{1} = 9

см) насажен конус с тем же основанием и высотой

h_{2} = 6

см. Найдите полный объём фигуры.

Подсказка: Составное тело: его объём равен сумме объёмов частей. Оба тела имеют одинаковый радиус — это упрощает расчёт.

Находим объём цилиндра: $V_{1} = π r^{2} h_{1} = π \cdot 4^{2} \cdot 9 = 144 π$ см $^{3}$ .
Находим объём конуса: $V_{2} = \frac{1}{3} π r^{2} h_{2} = \frac{1}{3} \cdot π \cdot 16 \cdot 6 = 32 π$ см $^{3}$ .
Полный объём: $V = V_{1} + V_{2} = 144 π + 32 π = 176 π$ см $^{3}$ .
Приближённо: $176 π \approx 552, 9$ см $^{3}$ .

Ответ:

V = 176 π \approx 552, 9 см

^{3}

Пифика в Telegram Подпишись, и ты первым узнаешь о новых темах, заданиях и статьях. Подписаться

Частые ошибки

Путают высоту конуса $h$ с образующей $l$ : подставляют $l$ вместо $h$ в формулу объёма, получая завышенный результат.
Забывают делить на 3 в формуле объёма конуса и считают так же, как цилиндр.
В формуле объёма шара возводят $R$ в квадрат вместо куба: пишут $\frac{4}{3} π R^{2}$ вместо $\frac{4}{3} π R^{3}$ .
Подставляют диаметр вместо радиуса, не разделив на 2, что даёт ошибку в 4 (для цилиндра/конуса) или 8 (для шара) раз.

Частые вопросы

Как найти объём цилиндра и конуса?

Объём цилиндра

V = π r^{2} h

. Объём конуса с тем же основанием и высотой в три раза меньше:

V = \frac{1}{3} π r^{2} h

Как найти объём шара?

По формуле

V = \frac{4}{3} π R^{3}

. Шар радиуса

3

имеет объём

\frac{4}{3} π \cdot 27 = 36 π