8 класс Геометрия 7 мин чтения

Теорема Пифагора

Ангелина Владимировна, создатель и методист Пифики

Коротко: Теорема Пифагора устанавливает связь между длинами сторон прямоугольного треугольника: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Проверь себя · 1 из 3

По какой формуле найти гипотенузу

c

, если катеты

a = 12

b = 16

Если ты когда-нибудь хотел узнать расстояние по прямой между двумя точками на карте или рассчитать длину лестницы, прислонённой к стене, — без теоремы Пифагора не обойтись. Это одна из самых древних и полезных теорем геометрии, которой больше 2500 лет.

c² = a² + b² — квадрат на гипотенузе равен сумме квадратов на катетах

Содержание 9

Прямоугольный треугольник: ключевые понятия

Прямоугольный треугольник — треугольник, у которого один из углов равен $9 0^{\circ}$ .

Катеты — две стороны, образующие прямой угол. Обозначают обычно $a$ и $b$ .
Гипотенуза — сторона, лежащая напротив прямого угла. Обозначают $c$ . Гипотенуза — всегда самая длинная сторона треугольника.

Важно понять: теорема Пифагора работает только для прямоугольных треугольников. Убедись сначала, что угол между катетами равен $9 0^{\circ}$ .

Формулировка теоремы Пифагора

Теорема. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Если катеты треугольника равны $a$ и $b$ , а гипотенуза равна $c$ , то: $a^{2} + b^{2} = c^{2}$

Почему это так? Существует много доказательств — более 400. Одно из наглядных: построим на каждой стороне квадрат. Площадь квадрата на гипотенузе в точности равна сумме площадей квадратов на обоих катетах. Это можно проверить разбивкой фигур на части и перекладыванием — площадь сохраняется.

Следствие: нахождение неизвестной стороны

Из формулы $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ легко выразить любую сторону.

Найти гипотенузу (если известны оба катета): $c = a^{2} + b^{2}$

Найти катет (если известны гипотенуза и другой катет): $a = c^{2} - b^{2}$ $b = c^{2} - a^{2}$

Алгоритм решения любой такой задачи:

Убедись, что треугольник прямоугольный.
Определи, что дано: два катета или катет и гипотенуза.
Подставь в нужную формулу и вычисли.

Обратная теорема Пифагора

Обратная теорема. Если в треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то этот треугольник — прямоугольный, причём прямой угол лежит напротив наибольшей стороны.

То есть: если выполнено $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ , то угол между сторонами $a$ и $b$ равен $9 0^{\circ}$ .

Применение: по трём известным длинам сторон можно определить, является ли треугольник прямоугольным.

Пример: стороны $3$ , $4$ , $5$ . Проверим: $3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25 = 5^{2}$ — да, треугольник прямоугольный. Такие тройки чисел называют пифагоровыми тройками.

Пифагоровы тройки

Натуральные числа $(a, b, c)$ , удовлетворяющие равенству $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ , называют пифагоровыми тройками. Полезно знать наизусть хотя бы несколько:

$a$	$b$	$c$
3	4	5
5	12	13
8	15	17

Любое кратное пифагоровой тройки тоже является пифагоровой тройкой. Например, $(6, 8, 10)$ — это $(3, 4, 5) \times 2$ .

Ключевые формулы

a^{2} + b^{2} = c^{2}

Теорема Пифагора (основная): квадрат гипотенузы через катеты

c = a^{2} + b^{2}

Гипотенуза через два катета

a = c^{2} - b^{2}

Катет через гипотенузу и другой катет

a^{2} + b^{2} = c^{2} \Rightarrow ∠ (a, b) = 9 0^{\circ}

Обратная теорема: условие прямоугольности треугольника

Запомни

Теорема Пифагора верна только для прямоугольных треугольников.
Гипотенуза — сторона напротив прямого угла, она всегда наибольшая.
Формула $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ : сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
Чтобы найти катет, из квадрата гипотенузы вычитают квадрат второго катета, затем берут корень.
Пифагоровы тройки $(3, 4, 5)$ и $(5, 12, 13)$ стоит запомнить: они часто встречаются в задачах.

Разбор примеров

Попробуй решить сам, потом сверься с решением.

Пример 1

В прямоугольном треугольнике катеты равны

3

4

. Найди гипотенузу.

Запишем теорему Пифагора: $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ .
$c^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25$ .
$c = 25 = 5$ .

Ответ: Гипотенуза равна

5

Пример 2

В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна

13

, один катет равен

5

. Найди второй катет.

По теореме Пифагора: $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ , откуда $b^{2} = c^{2} - a^{2}$ .
$b^{2} = 1 3^{2} - 5^{2} = 169 - 25 = 144$ .
$b = 144 = 12$ .

Ответ: Второй катет равен

12

Пример 3

Стороны треугольника равны

7

24

25

. Является ли треугольник прямоугольным?

Подсказка: Всегда проверяй равенство, подставляя наибольшую сторону в роли гипотенузы.

Наибольшая сторона — $25$ . Проверяем обратную теорему: $7^{2} + 2 4^{2} = c^{2}$ ?
$7^{2} + 2 4^{2} = 49 + 576 = 625$ .
$2 5^{2} = 625$ .
Так как $7^{2} + 2 4^{2} = 2 5^{2}$ , треугольник прямоугольный.

Ответ: Да, треугольник прямоугольный (прямой угол лежит напротив стороны

25

Пример 4

Лестница длиной

10

м прислонена к стене. Нижний конец лестницы находится на расстоянии

6

м от стены. На какой высоте верхний конец лестницы касается стены?

Подсказка: В прикладных задачах сначала нарисуй чертёж и определи, какая сторона является гипотенузой.

Стена, пол и лестница образуют прямоугольный треугольник: гипотенуза — лестница ( $c = 10$ ), один катет — расстояние по полу ( $a = 6$ ), другой катет — высота ( $b$ — искомая).
По теореме Пифагора: $b^{2} = c^{2} - a^{2} = 1 0^{2} - 6^{2} = 100 - 36 = 64$ .
$b = 64 = 8$ .

Ответ: Верхний конец лестницы находится на высоте

8

м.

Пифика в Telegram Подпишись, и ты первым узнаешь о новых темах, заданиях и статьях. Подписаться

Частые ошибки

Путают катеты и гипотенузу: пишут $c^{2} + a^{2} = b^{2}$ , не убедившись, что $b$ — гипотенуза. Сначала всегда определяй, какая сторона лежит напротив прямого угла.
При нахождении катета складывают, а не вычитают: пишут $a = c^{2} + b^{2}$ вместо $a = c^{2} - b^{2}$ .
Забывают взять квадратный корень в конце: получают $c^{2} = 25$ и записывают ответ $25$ вместо $c = 5$ .
Применяют теорему к непрямоугольным треугольникам, не проверив наличие прямого угла.