Равнобедренный треугольник и его свойства

Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны между собой.

Эти равные стороны называются боковыми сторонами (бёдрами), а третья сторона — основанием.

Если в треугольнике $ABC$ выполнено $AB=BC$, то стороны $AB$ и $BC$ — бока, а $AC$ — основание.

Отдельный случай: равносторонний треугольник — это равнобедренный треугольник, у которого все три стороны равны: $AB=BC=CA$. Он является частным случаем равнобедренного.

Угол при основании — любой из двух углов, смежных с основанием (углы $A$ и $C$ в примере выше). Угол при вершине — угол между бёдрами (угол $B$).

Если $AB=BC$, то $\angle A=\angle C$.

Доказательство. Проведём биссектрису $BD$ угла $B$, где $D$ — точка на $AC$. Рассмотрим треугольники $ABD$ и $CBD$:

• $AB=CB$ (по условию, бока равнобедренного треугольника),
• $BD$ — общая сторона,
• $\angle ABD=\angle CBD$ (биссектриса делит угол пополам).

По признаку равенства треугольников «сторона — угол — сторона» ($SAS$): $△ABD=△CBD$. Из равенства треугольников следует $\angle A=\angle C$. Что и требовалось доказать.

Это же доказательство показывает важное следствие: биссектриса угла при вершине равнобедренного треугольника является одновременно медианой и высотой, проведёнными к основанию.

Из доказательства теоремы об углах при основании вытекает ключевое свойство:

В равнобедренном треугольнике биссектриса, медиана и высота, проведённые из вершины угла при вершине (из точки между бёдрами) к основанию, совпадают.

Другими словами, если $AB=BC$ и $BD$ — биссектриса угла $B$, то:

• $D$ — середина $AC$ (значит, $BD$ — медиана),
• $BD\perp AC$ (значит, $BD$ — высота).

Почему это удобно? Зная одну из этих линий, мы автоматически знаем все три. Например, если задача говорит «проведи высоту к основанию», она же является и медианой, делящей основание пополам.

В любом треугольнике сумма углов равна $180^{\circ }$. Это общее правило, но в равнобедренном треугольнике оно применяется особенно часто.

Если обозначить угол при вершине через $\beta$, а каждый угол при основании через $\alpha$, то:

$2\alpha +\beta =180^{\circ }$

Отсюда можно выразить любой неизвестный угол:

• угол при основании: $\alpha =\frac{180^{\circ }-\beta }{2}$,
• угол при вершине: $\beta =180^{\circ }-2\alpha$.

Пример рассуждения. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен $40^{\circ }$. Тогда каждый угол при основании равен $\frac{180^{\circ }-40^{\circ }}{2}=\frac{140^{\circ }}{2}=70^{\circ }$.

Это позволяет «опознать» равнобедренный треугольник по углам, даже если стороны явно не заданы.

Как применять на практике. Пусть в треугольнике $ABC$ угол $\angle A=\angle C=65^{\circ }$. Тогда треугольник $ABC$ — равнобедренный, и стороны $AB=BC$ (бока, противолежащие равным углам $C$ и $A$ соответственно).

Проверка: $\angle B=180^{\circ }-65^{\circ }-65^{\circ }=50^{\circ }$ — угол при вершине.