9 класс Геометрия 8 мин чтения

Тела и поверхности вращения: цилиндр, конус, шар

Ангелина Владимировна, создатель и методист Пифики

Коротко: Цилиндр, конус и шар — тела вращения, которые получаются поворотом плоской фигуры вокруг оси, и для каждого из них выведены формулы площади поверхности и объёма.

Проверь себя · 1 из 3

Какая фигура является развёрткой боковой поверхности цилиндра?

Банка консервов, мороженое в вафельном рожке, земной шар — всё это тела вращения. Умение вычислять их объём и площадь поверхности нужно в строительстве, машиностроении и даже кулинарии.

V_цил = πr²h; V_кон = πr²h/3; V_шара = 4πr³/3

Содержание 9

Что такое тело вращения

Тело вращения — геометрическое тело, образованное вращением плоской фигуры вокруг прямой, лежащей в той же плоскости. Эта прямая называется осью вращения.

Примеры:

Прямоугольник вращается вокруг своей стороны — получается цилиндр.
Прямоугольный треугольник вращается вокруг своего катета — получается конус.
Полукруг вращается вокруг диаметра — получается шар.

Поверхность, которую «описывает» граница фигуры при вращении, называется поверхностью вращения. Само замкнутое тело внутри этой поверхности — тело вращения.

Цилиндр

Прямой круговой цилиндр — тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, перпендикулярными её оси.

Основные элементы:

Основания — два равных круга радиуса $r$ .
Высота $h$ — расстояние между плоскостями оснований (равна образующей).
Образующая — отрезок, параллельный оси и соединяющий соответствующие точки окружностей оснований.

Полная поверхность цилиндра складывается из двух оснований и боковой поверхности. Боковую поверхность можно «развернуть» в прямоугольник: ширина равна длине окружности основания $2 π r$ , высота равна $h$ . Поэтому площадь боковой поверхности $S_{бок} = 2 π r h$ , а полная площадь $S_{полн} = 2 π r h + 2 π r^{2}$ .

Объём цилиндра — площадь основания, умноженная на высоту: $V = π r^{2} h$ .

Конус

Прямой круговой конус — тело, образованное вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов.

Основные элементы:

Основание — круг радиуса $r$ .
Вершина $S$ — точка, в которой сходятся все образующие.
Высота $h$ — перпендикуляр из вершины на плоскость основания; для прямого конуса высота проходит через центр основания.
Образующая $l$ — отрезок, соединяющий вершину с точкой окружности основания.

Связь образующей, радиуса и высоты (теорема Пифагора): $l^{2} = r^{2} + h^{2}$ , то есть $l = r^{2} + h^{2}$ .

Боковую поверхность конуса можно развернуть в сектор с радиусом $l$ и длиной дуги $2 π r$ . Площадь такого сектора: $S_{бок} = π r l$ .

Полная поверхность: $S_{полн} = π r l + π r^{2} = π r (l + r)$ .

Объём конуса в три раза меньше объёма цилиндра с теми же основанием и высотой: $V = \frac{1}{3} π r^{2} h$ .

Шар и сфера

Сфера — поверхность вращения, образованная вращением полуокружности вокруг диаметра; геометрическое место точек пространства, равноудалённых от данной точки (центра) на расстояние $R$ (радиус).

Шар — тело, ограниченное сферой; заполненная область внутри сферы.

Важные термины:

Диаметр $d = 2 R$ — наибольшая хорда шара, проходящая через центр.
Большой круг — сечение шара плоскостью, проходящей через центр. Его радиус равен $R$ .
Любое сечение шара плоскостью — круг.

Площадь поверхности шара (сферы): $S = 4 π R^{2}$ . Это равно четырём площадям большого круга.

Объём шара: $V = \frac{4}{3} π R^{3}$ .

Шаровой сегмент — часть шара, отсечённая плоскостью. Шаровой сектор — тело, образованное вращением кругового сектора вокруг диаметра. В задачах 9 класса в основном работают с целым шаром и полушаром.

Сравнение тел и типичные связи

Три тела вращения часто встречаются вместе в одной задаче — одно вписано в другое или они составные.

Конус вписан в цилиндр (одинаковые основание и высота): объём конуса составляет ровно $\frac{1}{3}$ объёма цилиндра.

Шар вписан в цилиндр (радиус шара $R$ , высота цилиндра $h = 2 R$ , радиус цилиндра $r = R$ ): $V_{шара} = \frac{2}{3} V_{цилиндра}$ .

Полезная таблица для быстрого сравнения:

Тело	Площадь боковой	Объём
Цилиндр	$2 π r h$	$π r^{2} h$
Конус	$π r l$	$\frac{1}{3} π r^{2} h$
Шар	$4 π R^{2}$	$\frac{4}{3} π R^{3}$

При решении задач всегда сначала выпиши все данные и определи, какие формулы нужны. Нередко требуется сначала найти образующую конуса через теорему Пифагора или радиус шара по условию «шар вписан».

Ключевые формулы

V = π r^{2} h

Объём цилиндра (радиус r, высота h)

S = 2 π r h + 2 π r^{2}

Полная площадь поверхности цилиндра

V = \frac{1}{3} π r^{2} h

Объём конуса (радиус основания r, высота h)

V = \frac{4}{3} π R^{3}

Объём шара (радиус R)

Запомни

Цилиндр, конус и шар — тела вращения: каждое получается поворотом плоской фигуры вокруг оси.
Образующая конуса $l$ связана с радиусом и высотой формулой $l = r^{2} + h^{2}$ (теорема Пифагора).
Объём конуса в три раза меньше объёма цилиндра с теми же $r$ и $h$ .
Площадь сферы равна $4 π R^{2}$ , то есть четырём площадям большого круга.
В задачах «вписан/описан» ищи геометрические связи между $r$ , $h$ , $R$ до подстановки в формулы.

Разбор примеров

Попробуй решить сам, потом сверься с решением.

Пример 1

Цилиндр имеет радиус основания

r = 3

см и высоту

h = 5

см. Найдите объём цилиндра.

Записываем формулу объёма цилиндра: $V = π r^{2} h$ .
Подставляем данные: $V = π \cdot 3^{2} \cdot 5 = π \cdot 9 \cdot 5 = 45 π$ см $^{3}$ .

Ответ:

V = 45 π \approx 141, 4 см

^{3}

Пример 2

Конус имеет радиус основания

r = 4

см и высоту

h = 3

см. Найдите образующую и полную площадь поверхности конуса.

Подсказка: Не забывай: полная поверхность конуса = боковая + основание. Образующую всегда находи через Пифагора, если дано

r

h

Находим образующую по теореме Пифагора: $l = r^{2} + h^{2} = 4^{2} + 3^{2} = 16 + 9 = 25 = 5 см$ .
Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = π r l = π \cdot 4 \cdot 5 = 20 π$ см $^{2}$ .
Площадь основания: $S_{осн} = π r^{2} = π \cdot 16 = 16 π$ см $^{2}$ .
Полная площадь поверхности: $S = 20 π + 16 π = 36 π см$ $^{2}$ .

Ответ:

l = 5

см,

S = 36 π \approx 113, 1 см

^{2}

Пример 3

Шар имеет радиус

R = 6

см. Найдите площадь поверхности и объём шара.

Подсказка: Запомни порядок: сначала площадь (

R^{2}

), потом объём (

R^{3}

). Не путай показатели степени.

Площадь сферы: $S = 4 π R^{2} = 4 π \cdot 6^{2} = 4 π \cdot 36 = 144 π$ см $^{2}$ .
Объём шара: $V = \frac{4}{3} π R^{3} = \frac{4}{3} π \cdot 6^{3} = \frac{4}{3} π \cdot 216 = \frac{864 π}{3} = 288 π$ см $^{3}$ .

Ответ:

S = 144 π \approx 452, 4 см

^{2}

V = 288 π \approx 904, 8 см

^{3}

Пример 4

Шар вписан в цилиндр: радиус шара

R = 5

см. Найдите объём цилиндра и покажите, что объём шара составляет

\frac{2}{3}

объёма цилиндра.

Для вписанного шара: радиус цилиндра $r = R = 5$ см, высота цилиндра $h = 2 R = 10$ см.
Объём цилиндра: $V_{цил} = π r^{2} h = π \cdot 25 \cdot 10 = 250 π$ см $^{3}$ .
Объём шара: $V_{шара} = \frac{4}{3} π R^{3} = \frac{4}{3} π \cdot 125 = \frac{500 π}{3}$ см $^{3}$ .
Проверяем отношение: $\frac{V _{шара}}{V _{цил}} = \frac{\frac{500 π}{3}}{250 π} = \frac{500}{3 \cdot 250} = \frac{500}{750} = \frac{2}{3}$ . Равенство выполняется.

Ответ:

V_{цил} = 250 π \approx 785, 4

см

^{3}

; доля шара

= \frac{2}{3}

Пифика в Telegram Подпишись, и ты первым узнаешь о новых темах, заданиях и статьях. Подписаться

Частые ошибки

Путают радиус и диаметр: подставляют $d$ вместо $R$ в формулы шара — получают объём в 8 раз больше верного.
В формуле боковой поверхности конуса $π r l$ используют высоту $h$ вместо образующей $l$ — это разные отрезки.
Забывают прибавить площадь основания(й) при вычислении полной поверхности: у цилиндра два круга, у конуса один.
При нахождении образующей конуса применяют Пифагора неверно: пишут $l = r + h$ вместо $l = r^{2} + h^{2}$ .