8 класс 4 мин чтения

Теорема Пифагора: формула и как найти сторону треугольника

Q: Как найти гипотенузу по двум катетам?

Сложи квадраты катетов и извлеки корень: c = √(a² + b²). При катетах 6 и 8 выйдет √100 = 10.

Обновлено 24 сентября 2026 г. · Ангелина Владимировна, создатель и методист Пифики

Теорема Пифагора: формула и как найти сторону треугольника

Коротко: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

c^{2} = a^{2} + b^{2}

. Гипотенуза лежит напротив прямого угла. Чтобы найти гипотенузу, сложи квадраты катетов и извлеки корень: при катетах 3 и 4 выйдет

25 = 5

. Катет находят через разность:

b = c^{2} - a^{2}

9 клеток с катета 3 и 16 клеток с катета 4 целиком заполняют квадрат на гипотенузе: 9 + 16 = 25.

Проверь себя за минуту

3 задания по теме с проверкой и решением. Бесплатно.

Катеты и гипотенуза

Теорема работает только для прямоугольного треугольника, где один угол равен 90°.

Две стороны у прямого угла называют катетами. Сторону напротив прямого угла называют гипотенузой.

Гипотенуза всегда длиннее каждого катета.

На катетах 3 и 4 стоят квадраты из 9 и 16 клеток. Вместе это 25, ровно площадь квадрата на гипотенузе 5.

Как звучит теорема Пифагора: формула

Правило. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

$c^{2} = a^{2} + b^{2}$

Здесь $c$ это гипотенуза, $a$ и $b$ катеты.

На картинке выше видно, откуда формула. Построй квадраты на всех сторонах. Площади квадратов на катетах в сумме дают площадь квадрата на гипотенузе: $9 + 16 = 25$ .

Как найти гипотенузу

Сложи квадраты катетов и извлеки корень:

$c = a^{2} + b^{2}$

Катеты 6 и 8:

$c = 36 + 64 = 100 = 10$

Катеты 5 и 12:

$c = 25 + 144 = 169 = 13$

Корень не всегда целый. При катетах 1 и 2 выйдет $c = 5 \approx 2, 24$ . Так и пиши ответ: $5$ .

Посчитай сторону треугольника

Катет a Катет b

c = 10

c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100

c = \sqrt{100} = 10

Как найти катет

Из квадрата гипотенузы вычти квадрат известного катета и извлеки корень:

$b = c^{2} - a^{2}$

Гипотенуза 13, катет 5:

$b = 169 - 25 = 144 = 12$

Гипотенуза 10, катет 6:

$b = 100 - 36 = 64 = 8$

Пифагоровы тройки

Бывают треугольники, где все три стороны целые. Такие наборы называют пифагоровыми тройками. Их полезно знать наизусть: ответ виден без вычислений.

Катет a	Катет b	Гипотенуза c
3	4	5
5	12	13
8	15	17
7	24	25
6	8	10
9	12	15

Если умножить тройку на одно число, снова выйдет тройка. $6, 8, 10$ и $9, 12, 15$ это тройка $3, 4, 5$ , умноженная на 2 и на 3.

Обратная теорема: прямоугольный ли треугольник

Правило. Если квадрат большей стороны равен сумме квадратов двух других, треугольник прямоугольный.

Стороны 9, 12, 15: $81 + 144 = 225 = 1 5^{2}$ . Треугольник прямоугольный.

Стороны 5, 6, 8: $25 + 36 = 61$ , а $8^{2} = 64$ . Равенства нет, треугольник не прямоугольный.

Задачи на теорему Пифагора с решениями

Лестница. Лестница длиной 5 м стоит у стены, её низ в 3 м от стены. На какой высоте верх? $25 - 9 = 16 = 4$ м.
Диагональ прямоугольника. Экран 12 на 5 см. Диагональ: $144 + 25 = 169 = 13 см$ .
Диагональ квадрата. Сторона 1 м. Диагональ: $1 + 1 = 2 \approx 1, 41 м$ .
Короткий путь. Идёшь 6 км на восток и 8 км на север. От старта ты в $36 + 64 = 10$ км по прямой.

Частые ошибки

Сложили стороны вместо квадратов. При катетах 3 и 4 написали $c = 7$ . Правильно $9 + 16 = 5$ .
Забыли извлечь корень. Нашли $c^{2} = 25$ и записали $c = 25$ . Правильно $c = 5$ .
Катет нашли через сумму. Гипотенуза 13, катет 5, посчитали $169 + 25$ . Для катета нужна разность.
Взяли гипотенузой не ту сторону. Гипотенуза лежит напротив прямого угла и всегда длиннее катетов.
Применили к обычному треугольнику. Формула работает, только если один угол прямой.
Разбили корень суммы. $a^{2} + b^{2} \neq = a + b$ : $9 + 16 = 5$ , а $3 + 4 = 7$ .

Частые вопросы

Как звучит теорема Пифагора?

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

c^{2} = a^{2} + b^{2}

В каком классе проходят теорему Пифагора?

В 8 классе, на уроках геометрии. Её используют дальше до конца школы и в ОГЭ, особенно в задачах на площади и расстояния.

Как найти гипотенузу по двум катетам?

Сложи квадраты катетов и извлеки корень:

c = a^{2} + b^{2}

. При катетах 6 и 8 выйдет

100 = 10

Как найти катет, если известны гипотенуза и другой катет?

Вычти из квадрата гипотенузы квадрат известного катета и извлеки корень:

b = c^{2} - a^{2}

. При гипотенузе 13 и катете 5 выйдет 12.