Свойства квадратных корней

Например, $\sqrt{9}=3$, потому что $3^2=9$ и $3\ge 0$.

Число под знаком корня называется подкоренным выражением. Само число $\sqrt{a}$ всегда неотрицательно: $\sqrt{a}\ge 0$.

Арифметический корень — это именно неотрицательное значение. Поэтому $\sqrt{25}=5$, а не $\pm 5$. Запись $\pm \sqrt{25}$ применяется, когда нужно описать оба решения уравнения $x^2=25$.

Почему так? Квадрат числа $a$ всегда неотрицателен, а квадратный корень возвращает неотрицательный результат. Если $a=-3$, то $a^2=9$ и $\sqrt{9}=3=|-3|$.

Типичное следствие: нельзя «просто убрать корень и квадрат» без модуля.

• $\sqrt{(-5{)}^2}=|-5|=5$ — верно.
• $\sqrt{x^2}=x$ — неверно в общем случае; правильно: $\sqrt{x^2}=|x|$.

Если известно, что $x\ge 0$, то $\sqrt{x^2}=x$ без модуля — это допустимо.

Почему? Обозначим $\sqrt{a}=p$, $\sqrt{b}=q$. Тогда $(p\cdot q{)}^2=p^2\cdot q^2=a\cdot b$, и $p\cdot q\ge 0$. По определению корня $p\cdot q=\sqrt{a\cdot b}$.

Пример: $\sqrt{4\cdot 9}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{9}=2\cdot 3=6$, проверка: $\sqrt{36}=6$ — верно.

Пример: $\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}=\frac{5}{2}$.

Внимание: свойство корня суммы $\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$ — неверно. Это одна из самых распространённых ошибок.

Вынесение множителя за знак корня. Если $a\ge 0$ и $k\ge 0$, то: $\sqrt{k^2\cdot a}=k\cdot \sqrt{a}$

Применяется, чтобы упростить корень из числа, у которого есть множитель-полный квадрат.

Пример: $\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{3}=2\sqrt{3}$.

Алгоритм:

1. Разложить подкоренное выражение на множители, выделив полный квадрат.
2. Применить свойство корня произведения.
3. Извлечь корень из полного квадрата и вынести его за знак корня.

Внесение множителя под знак корня. Обратная операция: $k\sqrt{a}=\sqrt{k^2\cdot a}$ при $k\ge 0$.

Пример: $3\sqrt{5}=\sqrt{9\cdot 5}=\sqrt{45}$.

Это полезно при сравнении выражений: чтобы сравнить $2\sqrt{3}$ и $3\sqrt{2}$, удобно возвести оба в квадрат: $(2\sqrt{3}{)}^2=12$, $(3\sqrt{2}{)}^2=18$, значит $2\sqrt{3}<3\sqrt{2}$.

Иногда требуется избавиться от корня в знаменателе дроби — это называется рационализацией знаменателя.

Случай 1: знаменатель вида $\sqrt{b}$. $\frac{a}{\sqrt{b}}=\frac{a\cdot \sqrt{b}}{\sqrt{b}\cdot \sqrt{b}}=\frac{a\sqrt{b}}{b}$

Пример: $\frac{6}{\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$.

Случай 2: знаменатель вида $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ или $\sqrt{a}-\sqrt{b}$.
Множим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение.

Пример: $\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{(\sqrt{5}{)}^2-(\sqrt{2}{)}^2}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{5-2}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}$.

Здесь использована формула разности квадратов: $(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})=a-b$.