Понятие квадратного корня. Арифметический квадратный корень

Например, $5$ — квадратный корень из $25$, потому что $5^2=25$. Но и $-5$ тоже квадратный корень из $25$, ведь $(-5{)}^2=25$.

Отсюда сразу видно: у положительного числа два квадратных корня — положительный и отрицательный, и они симметричны относительно нуля. У нуля корень один: $0$. У отрицательного числа квадратного корня не существует в множестве вещественных чисел, так как квадрат любого вещественного числа неотрицателен: $b^2\ge 0$ для любого $b\in \mathbb{R}$.

Обозначение: $\sqrt{a}$, где знак x​ называется знаком радикала, а $a$ — подкоренным выражением.

По определению всегда выполняется: $\sqrt{a}\ge 0$ и $(\sqrt{a}{)}^2=a$.

Важно понимать разницу: запись $\sqrt{25}$ обозначает только $5$ (неотрицательное), а не $\pm 5$. Оба корня уравнения $x^2=25$ записываются как $x=\pm \sqrt{25}=\pm 5$.

Область допустимых значений. Выражение $\sqrt{a}$ имеет смысл тогда и только тогда, когда $a\ge 0$.

Два равенства, которые необходимо знать наизусть:

1. $(\sqrt{a}{)}^2=a$ при $a\ge 0$ — квадрат арифметического корня возвращает исходное число.
2. $\sqrt{a^2}=|a|$ при любом $a$ — квадратный корень из квадрата числа равен модулю этого числа.

Второе равенство — источник частых ошибок. Многие пишут $\sqrt{a^2}=a$, забывая об отрицательных значениях. Проверка: $\sqrt{(-3{)}^2}=\sqrt{9}=3=|-3|$, а не $-3$. Арифметический корень не может быть отрицательным, поэтому результат — обязательно модуль.

Пусть $a\ge 0$, $b\ge 0$. Тогда выполняются следующие свойства:

• Корень произведения: $\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}$
• Корень частного: $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ при $b>0$
• Сравнение корней: если $a<b$, то $\sqrt{a}<\sqrt{b}$ (функция $\sqrt{x}$ возрастает)

Эти свойства позволяют упрощать выражения с корнями: выносить множители из-под знака корня и вносить их обратно.

Вынесение множителя из-под корня. Если подкоренное выражение содержит полный квадрат как множитель, его можно вынести: $\sqrt{a^2\cdot b}=a\sqrt{b}$ при $a\ge 0$, $b\ge 0$.

Квадратный корень из натурального числа $n$ является рациональным (целым) числом только тогда, когда $n$ — полный квадрат: $0,1,4,9,16,25,36,\dots$

Если $n$ не является полным квадратом, то $\sqrt{n}$ — иррациональное число: его десятичная запись бесконечна и не периодична. Например, $\sqrt{2}\approx 1,414$, $\sqrt{3}\approx 1,732$, $\sqrt{5}\approx 2,236$.

При вычислениях с такими числами либо оставляют ответ в виде $\sqrt{n}$ (точное значение), либо округляют по условию задачи.