Задачи на части: как решать
Обновлено · Ангелина Владимировна, репетитор по математике с 5-летним опытом, создатель и методист Пифики
Коротко: Задачами на части называют задачи, где целое делят на равные порции, а каждую величину задают числом таких порций. Решают их в четыре шага: считают все части, находят одну часть делением, умножают её на нужное число частей и проверяют ответ. Варенье: 3 части ягод и 2 части сахара, всего 1500 г. Частей 5, одна часть 1500 : 5 = 300 г, ягод 900 г, сахара 600 г.
Проверь себя за минуту
3 задания по теме с проверкой и решением. Бесплатно.
Содержание 12
Что такое задачи на части и целое
Задачами на части называют задачи, в которых что-то делят на равные части: смесь, сплав, деньги, отрезок. В условии сказано, сколько частей приходится на каждую величину.
«3 части ягод и 2 части сахара» значит: разложи всё варенье на 5 одинаковых по массе порций, и ягоды займут 3 порции, а сахар 2.
Одна часть варенья: 1500 : 5 = 300 г. Ягод 300 · 3 = 900 г, сахара 300 · 2 = 600 г.
Чаще всего такие задачи решают в 5 и 6 классе, а встречаются они до самого ОГЭ. В кодификаторе ОГЭ на сайте ФИПИ в требованиях записано «умение решать задачи разных типов (в том числе на проценты, доли и части, движение, работу…)».
Как решать задачи на части: алгоритм
- Посчитай части. Обычно их складывают, иногда вычитают.
- Найди одну часть. Раздели известную массу или количество на число частей, которое ей соответствует.
- Найди ответ. Умножь одну часть на нужное число частей.
- Проверь ответ. Сложи найденные величины или вычти, если дана разность, и сравни с условием.
Что делить и на что, зависит от того, что дано:
| Что известно | Как найти одну часть |
|---|---|
| Сумма всех величин | сумму раздели на сумму частей |
| Разность двух величин | разность раздели на разность частей |
| Одна из величин | её раздели на её число частей |
| «В 3 раза больше» | меньшее: 1 часть, большее: 3 части |
В 6 классе одну часть обозначают буквой и пишут уравнение. Для варенья: ягод г, сахара г, всего 1500 г.
3x + 2x = 1500, 5x = 1500, x = 300
Ответ тот же: ягод 3 · 300 = 900 г, сахара 2 · 300 = 600 г. Решение по действиям и уравнение отличаются только записью.
Решение задач на части, если известно целое
Задача. Для компота взяли 3 части яблок и 2 части груш. Вся смесь весит 1 кг. Сколько граммов яблок и сколько груш?
Сначала переведи: 1 кг = 1000 г.
- Частей всего: 3 + 2 = 5.
- Одна часть: 1000 : 5 = 200 г.
- Яблок: 200 · 3 = 600 г.
- Груш: 200 · 2 = 400 г.
Проверка: 600 + 400 = 1000 г, сходится.
Ответ: 600 г яблок и 400 г груш.
Как решать задачи на части, если известна разность
Задача. Для глазури взяли 7 частей сахарной пудры и 2 части какао. Пудры взяли на 150 г больше, чем какао. Сколько граммов пудры и сколько какао?
Лишние 150 г пудры приходятся на лишние части: 7 − 2 = 5 частей.
- Одна часть: 150 : 5 = 30 г.
- Пудра: 30 · 7 = 210 г.
- Какао: 30 · 2 = 60 г.
Проверка: 210 − 60 = 150 г.
Как решать, если известна одна из величин
Задача. Для пирога на 2 части сахара берут 5 частей муки. Муки взяли 400 г. Сколько нужно сахара и сколько весит смесь?
Мука занимает 5 частей, поэтому одна часть: 400 : 5 = 80 г.
- Сахар: 80 · 2 = 160 г.
- Вся смесь: 80 · (2 + 5) = 560 г. Можно и сложением: 400 + 160 = 560 г.
Складывать части в начале тут не нужно. Известную массу дели на её собственное число частей.
Сложные задачи на части: «в 3 раза больше»
Иногда слова «часть» в условии нет. Фраза «в 3 раза больше» тоже про части: меньшее количество принимают за 1 часть, большее за 3 части.
Задача. У Пети в 3 раза больше марок, чем у Коли. Вместе у них 48 марок. Сколько марок у каждого?
- Частей: 1 + 3 = 4.
- Одна часть равна числу марок Коли: 48 : 4 = 12.
- Марки Пети: 12 · 3 = 36.
Задача сложнее. В трёх ящиках 72 кг яблок. Во втором ящике в 2 раза больше, чем в первом, в третьем в 3 раза больше, чем в первом. Первый ящик примем за 1 часть, тогда второй равен 2 частям, третий 3 частям.
- Частей: 1 + 2 + 3 = 6.
- Одна часть: 72 : 6 = 12 кг.
- В ящиках 12 кг, 12 · 2 = 24 кг и 12 · 3 = 36 кг.
Как решать задачи на части про смеси и сплавы
Смеси из трёх веществ решают так же, только видов частей три.
Задача про бетон. Для бетона берут 1 часть цемента, 2 части песка и 4 части щебня. Сколько килограммов каждого нужно на 210 кг бетона?
- Частей: 1 + 2 + 4 = 7.
- Одна часть: 210 : 7 = 30 кг.
- Цемент 30 кг, песок 30 · 2 = 60 кг, щебень 30 · 4 = 120 кг.
Задача про сплав. Сплав состоит из 17 частей меди и 3 частей олова. Сколько меди и олова в куске сплава массой 80 кг?
- Частей: 17 + 3 = 20.
- Одна часть: 80 : 20 = 4 кг.
- Медь: 4 · 17 = 68 кг, олово: 4 · 3 = 12 кг.
Проверка: 68 + 12 = 80 кг.
Как решать задачи с отношением 2 : 3
Запись «относятся как 2 : 3» значит то же, что «2 части и 3 части». Числа отношения и есть числа частей.
Задача. Два числа относятся как 2 : 3, их сумма равна 45. Найди эти числа.
- Частей: 2 + 3 = 5.
- Одна часть: 45 : 5 = 9.
- Числа: 9 · 2 = 18 и 9 · 3 = 27.
Проверка: 18 + 27 = 45, а 18 : 27 после сокращения на 9 даёт 2 : 3.
Если дано отношение и одна величина, а вторую надо найти, получается пропорция . Как её решать, читай в статье как решить пропорцию. Определения собраны в теории про отношения и пропорции.
Проценты тоже можно считать частями: 40% и 60% относятся как 2 : 3. Как считать сами проценты, разобрано в статье как найти процент от числа.
Чем задачи на части отличаются от задач на нахождение части от числа
Названия похожи, а решают их по-разному. В задаче на части целое делят на сумму частей. В задаче на нахождение части от числа часть задана дробью, и число делят на её знаменатель. В задаче на нахождение целого по его части делят на числитель и умножают на знаменатель.
| Задача на части | Часть от числа | Целое по его части | |
|---|---|---|---|
| Условие | 2 части сахара и 3 части муки, всего 500 г | Найди 2/5 от 500 г | 2/5 числа равны 200 |
| Решение | 500 : (2 + 3) = 100 г | 500 : 5 · 2 = 200 г | 200 : 2 · 5 = 500 |
| Ответ | сахара 200 г, муки 300 г | 200 г | 500 |
В первых двух столбцах ответ 200 г, но делили по разным причинам. В первой задаче частей 2 + 3 = 5, во второй знаменатель дроби 5. Возьми «2 части сахара и 5 частей муки, всего 700 г», и делить придётся уже на 2 + 5 = 7: одна часть 100 г, сахара 200 г.
Часть от числа и число по его части подробно разобраны в теории про дроби.
Частые ошибки
- Делят на одно из чисел частей. 3 части и 2 части, всего 1000 г: 1000 : 3 неверно. Делить нужно на 3 + 2 = 5.
- Складывают части, когда дана разность. «На 150 г больше» значит вычитай: 7 − 2 = 5, а не 7 + 2 = 9.
- Останавливаются на одной части. Нашли 200 г и записали в ответ. А спрашивали яблоки: 200 · 3 = 600 г.
- Считают «в 3 раза больше» как 3 части всего. Меньшее количество тоже часть, всего их 1 + 3 = 4.
- Смешивают единицы. Всего 1 кг, а ответ нужен в граммах. Сначала переведи: 1 кг = 1000 г.
- Путают части с дробью. «две пятых от 1000 г» значит 2 части из 5. А «2 части сахара и 5 частей муки» дают 2 + 5 = 7 частей всего.
Частые вопросы
Как решать задачи на части?
Посчитай, сколько частей всего, раздели общую массу на это число и получишь одну часть. Потом умножь одну часть на число частей нужной величины. 3 части и 2 части, всего 1000 г: одна часть 1000 : 5 = 200 г, ответы 600 г и 400 г.
Что значит «одна часть» в задаче?
Это одинаковая порция, из которых складываются все величины. «3 части яблок и 2 части груш» значит, что яблок 3 таких порции, а груш 2.
Как решить задачу на части через x?
Обозначь одну часть буквой . Тогда 3 части равны , а 2 части равны . Составь уравнение по условию, например , отсюда .
Как решать задачи на части, если дана разность?
Раздели разность на разность частей. 7 частей пудры и 2 части какао, пудры на 150 г больше: одна часть 150 : (7 − 2) = 30 г.
Как решать сложные задачи на части?
Переведи всё условие в части. «Во втором в 2 раза больше, чем в первом» значит: первый принимают за 1 часть, второй за 2 части. Дальше решай как обычно: сложи части и найди одну.
Чем задачи на части отличаются от задач на нахождение части от числа?
В задаче на нахождение части от числа часть задана дробью: «две пятых от 1000» значит 1000 делят на 5 и берут 2 доли, это 400. В задаче «2 части и 5 частей» целое делят на 2 + 5 = 7 частей.
Как решать задачи на проценты и части?
Проценты тоже части: всё число делят на 100 частей. Если в морсе 40% сока и 60% воды, это 2 части сока и 3 части воды. В 500 мл морса одна часть 500 : 5 = 100 мл, сока 200 мл. Как найти сам процент от числа, смотри в статье «Как найти процент от числа» в разделе «Полезное».
В каком классе решают задачи на части?
Первые задачи на части встречаются в 3–4 классе. В 5 классе их решают по действиям, в 6 классе добавляются отношения вида 2 : 3 и уравнение с . В 7–8 классе такие задачи решают уравнением.
