Как решить пропорцию: правило креста и задачи

Отношение двух чисел это их частное. Отношение 12 к 4 равно $12:4=3$: первое число в 3 раза больше второго.

Пропорция это равенство двух отношений:

$6:3=10:5$

Оба отношения равны 2, поэтому равенство верное. Читают так: «6 относится к 3, как 10 относится к 5».

Числа по краям, 6 и 5, называют крайними членами. Числа в середине, 3 и 10, называют средними. Если записать пропорцию дробями $\frac{6}{3}=\frac{10}{5}$, крайние стоят на одной диагонали, а средние на другой.

Проверим на $6:3=10:5$:

$6\cdot 5=30,3\cdot 10=30$

Так же проверяют, можно ли составить пропорцию. Верно ли, что $4:6=6:9$? Считаем: $4\cdot 9=36$ и $6\cdot 6=36$. Произведения совпали, пропорция верная.

А $2:5=3:7$ неверно: $2\cdot 7=14$, а $5\cdot 3=15$.

На практике запомни одно действие: перемножь крест-накрест и раздели на число, которое осталось.

Пример 1. $x:8=15:24$.

$x\cdot 24=8\cdot 15=120,x=120:24=5$

Пример 2. $7:x=21:9$.

$7\cdot 9=x\cdot 21,x=63:21=3$

Проверка: $7\cdot 9=63$ и $3\cdot 21=63$.

Правило креста работает с любыми числами.

С десятичными. $0,6:x=1,5:2$.

$x=\frac{0,6\cdot 2}{1,5}=\frac{1,2}{1,5}=0,8$

Если запятые мешают, умножь числитель и знаменатель на 10: $\frac{12}{15}=\frac{4}{5}=0,8$.

С выражением. $(x+1):3=8:6$.

$6\cdot (x+1)=3\cdot 8,x+1=24:6=4,x=3$

Выражение со скобками умножай целиком, а потом решай обычное линейное уравнение.

Задача. 3 кг яблок стоят 270 ₽. Сколько стоят 5 кг?

Стрелки в обоих столбцах смотрят в одну сторону, поэтому пропорцию пишем как в таблице:

$\frac{3}{5}=\frac{270}{x},x=\frac{5\cdot 270}{3}=450$

Ответ: 450 ₽.

Задача. 6 рабочих делают ремонт за 10 дней. За сколько дней сделают 15 рабочих?

Рабочих стало больше, значит, дней будет меньше. В обратной пропорциональности одно из отношений переворачиваем:

$\frac{6}{15}=\frac{x}{10},x=\frac{6\cdot 10}{15}=4$

Ответ: 4 дня. Проверка: объём работы $6\cdot 10=60$ и $15\cdot 4=60$ «человеко-дней» совпал.

Почти любую задачу на проценты решают пропорцией: всё число это 100%.

Найти 15% от 640.

$\frac{640}{x}=\frac{100}{15},x=\frac{640\cdot 15}{100}=96$

Найти число, если 30% от него равны 45.

$\frac{x}{45}=\frac{100}{30},x=\frac{45\cdot 100}{30}=150$

Следи, чтобы 100% стояло в одной строке со всем числом, а проценты в одной строке с частью.

Масштаб это тоже отношение. Запись $1:50000$ значит, что 1 см на карте равен 50 000 см на местности, то есть 500 м.

Задача. На карте с масштабом $1:50000$ между домом и школой 7 см. Какое расстояние на самом деле?

$\frac{1}{50000}=\frac{7}{x},x=7\cdot 50000=350000\text{ см}$

$350000$ см это 3500 м, или 3,5 км.

• Перемножили не по диагонали. В $\frac{3}{12}=\frac{5}{x}$ посчитали $3\cdot 5$. Умножают числа на одной диагонали: $12\cdot 5$, а потом делят на 3.
• Обратную пропорциональность решили как прямую. У 15 рабочих получилось 25 дней. Больше рабочих не могут работать дольше.
• Разные единицы в одном столбце. 2 кг и 500 г нельзя ставить в одну пропорцию. Сначала переведи: 2 кг = 2000 г.
• 100% не к тому числу. В задаче «30% от числа равны 45» поставили 100% к 45. 45 это часть, а не всё число.
• Округлили в середине. Округляй только ответ, иначе ошибка растёт.
• Не проверили. Подставь ответ: произведения крест-накрест должны совпасть.