7 класс Алгебра 8 мин чтения

Решение задач с помощью уравнений

Ангелина Владимировна, создатель и методист Пифики

Коротко: Чтобы решить задачу с помощью уравнения, обозначь неизвестную величину буквой

x

, вырази через неё остальные величины и приравняй выражения, которые по условию равны. Пример: в двух классах 58 учеников, во втором на 4 больше. Тогда

x + (x + 4) = 58

2 x = 54

x = 27

. В классах 27 и 31 ученик. Ответ проверь по условию задачи.

Проверь себя · 1 из 3

У Влада на

11

конфет больше, чем у друга. Всего у них

30

конфет. Сколько конфет у друга (

x

)? Какое уравнение верно?

Представь: ты копишь на наушники, и хочется узнать, через сколько недель хватит денег. Или вы с другом выехали навстречу друг другу — когда встретитесь? Такие вопросы из жизни решает одно умение: перевести историю на язык уравнения. Это как выучить новый язык, только словарик у него совсем короткий.

Содержание 8

С русского — на математический

Допустим, у тебя 240 подписчиков, и каждый день прибавляется по 30. Через сколько дней станет 360? Можно перебирать дни по одному, но математика предлагает способ быстрее: обозначить неизвестное буквой.

Пусть $x$ — число дней, которое мы ищем. Тогда за $x$ дней прибавится $30 x$ подписчиков, а всего станет $240 + 30 x$ . По условию это должно равняться 360:

$240 + 30 x = 360$

Вот и всё — история про подписчиков превратилась в уравнение. Дальше работают обычные правила: переносим, делим, находим $x$ .

Главная идея: буква $x$ — это не загадка, а просто имя для числа, которое мы пока не знаем. Мы обращаемся с ним как с обычным числом: складываем, умножаем, переносим через знак равенства.

Четыре шага: универсальный план

Любая задача на уравнение решается по одному и тому же плану:

Шаг 1. Обозначь. Выбери, что взять за $x$ . Обычно это то, о чём спрашивают, или самая маленькая из неизвестных величин.
Шаг 2. Составь. Вырази остальные величины через $x$ и запиши условие задачи в виде равенства — это и есть уравнение.
Шаг 3. Реши. Найди корень уравнения по обычным правилам.
Шаг 4. Проверь и ответь. Подставь корень в условие задачи (не в уравнение, а именно в исходную историю!) и убедись, что всё сходится и ответ имеет смысл.

Чаще всего ошибки прячутся в шагах 1 и 2 — в переводе. Само уравнение семиклассники обычно решают без проблем. Поэтому не торопись: прочитай задачу дважды и только потом вводи $x$ .

Словарик переводчика

Одни и те же обороты встречаются в задачах снова и снова. Вот шпаргалка: пусть первая величина — это $x$ , тогда:

Фраза в задаче	На языке математики
«на 5 больше»	$x + 5$
«на 5 меньше»	$x - 5$
«в 3 раза больше»	$3 x$
«в 3 раза меньше»	$x : 3$ , то есть $\frac{x}{3}$
«вместе», «всего»	сложить: $x + \dots$
«поровну», «столько же»	поставить знак $=$

Самая коварная пара — «на» и «в». «На 3 больше» — это прибавить 3, а «в 3 раза больше» — умножить на 3. Перепутаешь — уравнение получится совсем про другую историю.

И ещё: знак $=$ в уравнении появляется там, где в задаче две величины равны или где названо их общее значение («вместе заплатили 500 рублей», «всего 36 км»).

Проверка по смыслу — не формальность

Уравнение решено верно, а ответ всё равно может быть неправильным. Как так? Уравнение — это перевод, и если переводил с ошибкой, корень получится «правильный», но не про твою задачу.

Поэтому проверяем по условию: возвращаемся к тексту и прогоняем ответ через историю. Подписчиков стало 360? Пешеход и велосипедист действительно встретились? Суммы сходятся?

Заодно включай здравый смысл:

Количество людей, дней, предметов не бывает отрицательным и дробным. Получил $x = - 4$ тетради или $x = 2, 5$ человека — ищи ошибку в составлении уравнения.
Скорость пешехода 40 км/ч или цена ручки 10 000 рублей — повод перепроверить.
В ответ записывай то, о чём спрашивали. Иногда за $x$ удобно взять одну величину, а спрашивают про другую — не забудь сделать последний шаг.

Ключевые формулы

a x + b = c

Линейное уравнение

a x + b = c

x

— неизвестное (то, что ищем),

a

— коэффициент при неизвестном,

b

c

— известные числа из условия

s = v \cdot t

Формула пути:

s

— путь,

v

— скорость,

t

— время движения

v = v_{1} + v_{2}

Скорость сближения при движении навстречу:

v

— скорость сближения,

v_{1}

v_{2}

— скорости участников

P = 2 (a + b)

Периметр прямоугольника:

P

— периметр,

a

— длина,

b

— ширина

Запомни

За x обычно берут то, о чём спрашивают, или самую маленькую из неизвестных величин — остальные выражают через x.
Знак равенства ставится там, где в задаче величины равны или названо их общее значение («вместе», «всего», «столько же»).
«На 3 больше» — это +3, а «в 3 раза больше» — это умножить на 3. Не путай «на» и «в»!
Проверяй ответ по условию задачи, а не по уравнению: уравнение могло быть составлено неверно.
Ответ должен иметь смысл: людей и дней не бывает минус два или полтора.

Разбор примеров

Попробуй решить сам, потом сверься с решением.

Пример 1

Тетрадь и ручка вместе стоят 60 рублей, причём ручка на 20 рублей дороже тетради. Сколько стоит тетрадь?

Шаг 1. Пусть $x$ рублей — цена тетради (она дешевле, берём её за неизвестное).
Шаг 2. Тогда ручка стоит $x + 20$ рублей. Вместе они стоят 60 рублей, значит: $x + (x + 20) = 60$
Шаг 3. Решаем: $2 x + 20 = 60$ , отсюда $2 x = 40$ и $x = 20$ .
Шаг 4. Проверка по условию: тетрадь — 20 р., ручка — $20 + 20 = 40$ р., вместе $20 + 40 = 60$ р. Сходится!

Ответ: Тетрадь стоит 20 рублей.

Пример 2

У блогера 240 подписчиков, и каждый день прибавляется по 30. Через сколько дней подписчиков станет 360?

Подсказка: Сколько подписчиков прибавится за x дней, если каждый день приходит по 30?

Шаг 1. Пусть $x$ — число дней (именно об этом спрашивают).
Шаг 2. За $x$ дней прибавится $30 x$ подписчиков, и всего станет $240 + 30 x$ . По условию: $240 + 30 x = 360$
Шаг 3. Переносим 240 вправо: $30 x = 360 - 240 = 120$ , значит $x = 120 : 30 = 4$ .
Шаг 4. Проверка: за 4 дня прибавится $30 \cdot 4 = 120$ подписчиков, всего $240 + 120 = 360$ . Верно, и ответ осмысленный: 4 — целое положительное число дней.

Ответ: Через 4 дня.

Пример 3

Периметр прямоугольника равен 14 см, причём длина на 1 см больше ширины. Найди стороны прямоугольника.

Шаг 1. Пусть $x$ см — ширина (меньшая сторона). Тогда длина равна $x + 1$ см.
Шаг 2. Периметр прямоугольника $P = 2 (a + b)$ , где $a$ — длина, $b$ — ширина. Составляем уравнение: $2 (x + (x + 1)) = 14$
Шаг 3. Раскрываем скобки: $2 (2 x + 1) = 14$ , то есть $4 x + 2 = 14$ . Тогда $4 x = 12$ и $x = 3$ .
Шаг 4. Ширина — 3 см, длина — $3 + 1 = 4$ см. Проверка: $2 (3 + 4) = 2 \cdot 7 = 14 см$ . Сходится, и обе стороны положительные.

Ответ: Ширина 3 см, длина 4 см.

Пример 4

Расстояние между двумя посёлками 36 км. Навстречу друг другу одновременно вышли пешеход со скоростью 4 км/ч и выехал велосипедист со скоростью 14 км/ч. Через сколько часов они встретятся?

Подсказка: К моменту встречи пешеход и велосипедист вместе пройдут всё расстояние. Вырази путь каждого через время t по формуле s = vt.

Шаг 1. Пусть $t$ часов — время до встречи (буква $t$ — традиционное обозначение времени, но это такое же неизвестное, как $x$ ).
Шаг 2. По формуле пути $s = v \cdot t$ : пешеход пройдёт $4 t$ км, велосипедист проедет $14 t$ км. К моменту встречи вместе они покроют все 36 км: $4 t + 14 t = 36$
Шаг 3. Складываем: $18 t = 36$ , откуда $t = 2$ . Заметь: 18 км/ч — это скорость сближения $v_{1} + v_{2} = 4 + 14$ .
Шаг 4. Проверка по условию: пешеход пройдёт $4 \cdot 2 = 8$ км, велосипедист — $14 \cdot 2 = 28$ км, вместе $8 + 28 = 36$ км — как раз всё расстояние. На графике их пути пересекаются в точке встречи: через 2 часа, в 8 км от посёлка пешехода.

Ответ: Через 2 часа.

Пифика в Telegram Подпишись, и ты первым узнаешь о новых темах, заданиях и статьях. Подписаться

Частые ошибки

Путают «на» и «в»: пишут 3x вместо x + 3. Лекарство — проговаривать фразу: «на больше» — прибавляю, «в раз больше» — умножаю.
Берут за x не ту величину и в конце дают ответ на другой вопрос. Дочитай задачу до конца: ответить нужно именно на то, что спрашивают.
Проверяют корень подстановкой в уравнение, а не в условие. Если уравнение составлено с ошибкой, такая проверка ничего не покажет.
Теряют единицы измерения: складывают минуты с часами или метры с километрами. Перед составлением уравнения приведи всё к одной единице.