Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Возьмём прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Гипотенуза $AB$ лежит напротив прямого угла. Катеты называют по отношению к острому углу:

• противолежащий катет лежит напротив угла: для угла $A$ это $BC$;
• прилежащий катет вместе с гипотенузой образует угол: для угла $A$ это $AC$.

Для угла $B$ катеты меняются ролями: $AC$ противолежащий, $BC$ прилежащий. Поэтому сначала смотри, про какой угол спрашивают, и только потом подписывай катеты.

Для угла $A$ треугольника $ABC$ с прямым углом $C$:

$\sin A=\frac{BC}{AB}$

$\cos A=\frac{AC}{AB}$

$\mathrm{tg}A=\frac{BC}{AC}$

Читают так: «синус $A$», «косинус $A$», «тангенс $A$».

Пример. Катеты равны $3$ и $4$, гипотенуза $5$, угол $A$ лежит напротив катета $3$. Тогда синус угла $A$ равен $3:5=0,6$, косинус $4:5=0,8$, тангенс $3:4=0,75$.

Нарисуй два прямоугольных треугольника с одинаковым острым углом, маленький и большой. Большой получается из маленького растяжением, все его стороны больше в одно и то же число раз. Поэтому отношения сторон у них одинаковые. Такие треугольники называют подобными, о них есть отдельная тема.

Значит, синус угла $17^{\circ }$ одинаковый в любом прямоугольном треугольнике с таким углом. Синус, косинус и тангенс зависят только от величины угла, а размеры треугольника на них не влияют. Раньше значения считали один раз и печатали таблицами, а сейчас синус любого угла показывает калькулятор.

Каждый катет короче гипотенузы, поэтому синус и косинус острого угла меньше $1$. Для тангенса такого правила нет: если противолежащий катет длиннее прилежащего, тангенс больше $1$.

Есть ещё котангенс: отношение прилежащего катета к противолежащему. Для угла $A$:

$\mathrm{ctg}A=\frac{AC}{BC}$

Это перевёрнутый тангенс, поэтому их произведение равно единице:

$\mathrm{tg}\alpha \cdot \mathrm{ctg}\alpha =1$

Например, если тангенс равен $\frac{3}{4}$, то котангенс равен $\frac{4}{3}$.

В треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ катет $BC$ лежит напротив угла $A$ и прилежит к углу $B$. Одно и то же отношение $\frac{BC}{AB}$ оказывается синусом угла $A$ и косинусом угла $B$:

$\sin A=\cos B$

$\cos A=\sin B$

Острые углы прямоугольного треугольника в сумме дают $90^{\circ }$, поэтому то же правило записывают так: $\sin (90^{\circ }-\alpha )=\cos \alpha$. А тангенсы двух острых углов обратны друг другу: $\mathrm{tg}A\cdot \mathrm{tg}B=1$.

В ОГЭ это встречается часто: дано $\cos B$, найти $\sin A$. Считать ничего не надо, числа равны.

Значения для трёх углов получаются из двух треугольников, которые ты уже знаешь.

Угол 45°. Возьмём равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами $a$. По теореме Пифагора гипотенуза равна $\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$. Тогда

$\sin 45^{\circ }=\frac{a}{a\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Катеты равны, поэтому косинус такой же, а тангенс равен $a:a=1$.

Углы 30° и 60°. Катет против угла $30^{\circ }$ равен половине гипотенузы. Пусть этот катет равен $a$, тогда гипотенуза $2a$, а второй катет по теореме Пифагора $\sqrt{4a^2-a^2}=a\sqrt{3}$. Отсюда

$\sin 30^{\circ }=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}$

$\cos 30^{\circ }=\frac{a\sqrt{3}}{2a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

В том же треугольнике второй острый угол равен $60^{\circ }$, и катеты для него меняются ролями. Поэтому синус $60^{\circ }$ равен косинусу $30^{\circ }$, а косинус $60^{\circ }$ равен синусу $30^{\circ }$.

Таблицу нужно знать наизусть. Запомнить помогает строка синусов: $\frac{\sqrt{1}}{2}$, $\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Косинусы те же числа в обратном порядке.

Пусть $a$ и $b$ катеты, $c$ гипотенуза, угол $\alpha$ лежит напротив катета $a$. По теореме Пифагора $a^2+b^2=c^2$. Разделим обе части на $c^2$:

${\left(\frac{a}{c}\right)}^2+{\left(\frac{b}{c}\right)}^2=1$

В скобках стоят $\sin \alpha$ и $\cos \alpha$. Получилось основное тригонометрическое тождество:

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$

Запись ${\sin }^2\alpha$ означает $(\sin \alpha {)}^2$.

Если разделить синус на косинус, гипотенуза сократится и останется тангенс:

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$

С этими формулами по одному значению находятся остальные. Например, при $\sin \alpha =0,6$:

${\cos }^2\alpha =1-0,36=0,64$

$\cos \alpha =\sqrt{0,64}=0,8$

$\mathrm{tg}\alpha =0,6:0,8=0,75$

Из определений получаются правила. Пусть $c$ гипотенуза, $a$ катет напротив угла $\alpha$, $b$ катет при угле $\alpha$.

Катет напротив угла равен гипотенузе, умноженной на синус:

$a=c\cdot \sin \alpha$

Катет при угле равен гипотенузе, умноженной на косинус:

$b=c\cdot \cos \alpha$

Один катет равен другому, умноженному на тангенс:

$a=b\cdot \mathrm{tg}\alpha$

Гипотенуза равна катету, делённому на синус противолежащего угла:

$c=a:\sin \alpha$

Заучивать все четыре правила не обязательно. Запиши определение функции, в которую входят известная и искомая стороны, и вырази неизвестную. Две стороны вместе с гипотенузой дают синус или косинус, два катета дают тангенс.

В ОГЭ угол обычно дают не в градусах, а сразу значением, например $\sin B=\frac{7}{12}$. Приём тот же: подставляешь это число в определение вместо $\sin B$.