8 класс Геометрия 8 мин чтения

Подобные треугольники. Признаки подобия

Ангелина Владимировна, создатель и методист Пифики

Коротко: Два треугольника называются подобными, если их углы равны попарно, а стороны пропорциональны — тема объясняет, как это распознавать и применять.

Проверь себя · 1 из 3

Треугольники

A B C

D E F

подобны, равные углы отмечены одинаковым числом дуг:

∠ A = ∠ D

∠ B = ∠ F

. Какое равенство верно?

Подобие треугольников — один из главных инструментов геометрии: с его помощью измеряют высоту здания по тени, строят карты и вычисляют расстояния, которые нельзя измерить напрямую. Если вы научитесь «видеть» подобные треугольники на чертеже, половина сложных задач по геометрии решается сама собой.

сходственные стороны пропорциональны, углы равны

Содержание 9

Определение подобных треугольников

Подобные треугольники — это два треугольника, у которых углы равны попарно и стороны пропорциональны.

Пусть $△ A B C$ и $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ . Они подобны, если одновременно выполняются два условия:

$∠ A = ∠ A_{1}$ , $∠ B = ∠ B_{1}$ , $∠ C = ∠ C_{1}$ (все три пары углов равны).
$\frac{A B}{A _{1} B _{1}} = \frac{B C}{B _{1} C _{1}} = \frac{A C}{A _{1} C _{1}}$ (стороны, лежащие напротив равных углов, пропорциональны).

Запись: $△ A B C \sim △ A_{1} B_{1} C_{1}$ . Порядок вершин важен: первая вершина одного треугольника соответствует первой вершине другого, вторая — второй, и т. д.

Коэффициент подобия $k$ — общее значение отношения соответственных сторон: $k = \frac{A B}{A _{1} B _{1}} = \frac{B C}{B _{1} C _{1}} = \frac{A C}{A _{1} C _{1}}$

Если $k = 1$ , треугольники не просто подобны — они равны (конгруэнтны).

Почему достаточно одного числа $k$ ? Потому что как только задан один масштаб и все углы совпадают, форма треугольника полностью определена — меняется только размер.

Первый признак подобия: два угла

Признак 1 (AA). Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Почему достаточно двух углов, а не трёх? Сумма углов треугольника равна $18 0^{\circ}$ , поэтому третий угол определяется автоматически: если $∠ A = ∠ A_{1}$ и $∠ B = ∠ B_{1}$ , то $∠ C = 18 0^{\circ} - ∠ A - ∠ B = 18 0^{\circ} - ∠ A_{1} - ∠ B_{1} = ∠ C_{1}$ .

Как применять. Найдите на чертеже две пары равных углов (вертикальные, накрест лежащие при параллельных прямых, общий угол и т. д.) — и треугольники подобны.

Пример ситуации: прямые $A D$ и $B C$ пересекаются в точке $O$ , причём $A B ∥ C D$ . Тогда $∠ O A B = ∠ O C D$ (накрест лежащие) и $∠ O B A = ∠ O D C$ (накрест лежащие) — по признаку AA получаем $△ O A B \sim △ O C D$ .

Второй признак подобия: две стороны и угол между ними

Признак 2 (SAS). Если угол одного треугольника равен углу другого, а стороны, образующие эти углы, пропорциональны, то треугольники подобны.

Точнее: если $∠ A = ∠ A_{1}$ и $\frac{A B}{A _{1} B _{1}} = \frac{A C}{A _{1} C _{1}}$ , то $△ A B C \sim △ A_{1} B_{1} C_{1}$ .

Ключевое условие: угол должен быть заключён между теми двумя сторонами, отношения которых равны. Если угол «не тот» — признак не работает.

Пример ситуации: в треугольнике $A B C$ проведена биссектриса $B D$ . Нужно убедиться, что два треугольника, на которые она делит $△ A B C$ , не обязательно подобны — у них общий угол при $B$ , но стороны надо проверять отдельно.

Третий признак подобия: три стороны

Признак 3 (SSS). Если все три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Если $\frac{A B}{A _{1} B _{1}} = \frac{B C}{B _{1} C _{1}} = \frac{A C}{A _{1} C _{1}}$ , то $△ A B C \sim △ A_{1} B_{1} C_{1}$ .

Как применять. Запишите отношения всех трёх пар соответственных сторон и проверьте, равны ли они. Если все три дроби равны — треугольники подобны, а это общее значение и есть коэффициент подобия $k$ .

Важно: стороны надо сравнивать «правильно» — наибольшую сторону одного треугольника с наибольшей другого, наименьшую — с наименьшей. Это не всегда очевидно, когда треугольники нарисованы в разных положениях.

Свойства подобных треугольников

1. Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия $k$ : $\frac{P _{△ A B C}}{P _{△ A_{1} B_{1} C_{1}}} = k$

2. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: $\frac{S _{△ A B C}}{S _{△ A_{1} B_{1} C_{1}}} = k^{2}$

Почему квадрат? Площадь зависит от произведения двух линейных размеров (основание $\times$ высота). Каждый из них увеличивается в $k$ раз, поэтому произведение — в $k^{2}$ раз.

3. Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине — частный случай подобия с $k = \frac{1}{2}$ .

4. Соответственные высоты, медианы и биссектрисы подобных треугольников относятся как коэффициент подобия $k$ .

Ключевые формулы

k = \frac{A B}{A _{1} B _{1}} = \frac{B C}{B _{1} C _{1}} = \frac{A C}{A _{1} C _{1}}

Коэффициент подобия (отношение соответственных сторон)

\frac{P _{1}}{P _{2}} = k

Отношение периметров подобных треугольников

\frac{S _{1}}{S _{2}} = k^{2}

Отношение площадей подобных треугольников

∠ A = ∠ A_{1}, \frac{A B}{A _{1} B _{1}} = \frac{A C}{A _{1} C _{1}} \Rightarrow △ A B C \sim △ A_{1} B_{1} C_{1}

Признак 2 (SAS): угол равен, стороны при нём пропорциональны

Запомни

Подобие — это равенство углов И пропорциональность сторон одновременно; одного условия недостаточно для определения, но каждый из трёх признаков гарантирует оба.
Порядок вершин в записи $△ A B C \sim △ A_{1} B_{1} C_{1}$ показывает, какие вершины соответствуют друг другу — путать нельзя.
По признаку AA достаточно двух равных углов: третий совпадёт автоматически из суммы углов треугольника $18 0^{\circ}$ .
Площади подобных треугольников относятся как $k^{2}$ , а не как $k$ — не путать с периметрами.
Коэффициент подобия $k$ — это отношение сторон первого треугольника к соответственным сторонам второго; при смене порядка $k$ заменяется на $\frac{1}{k}$ .

Разбор примеров

Попробуй решить сам, потом сверься с решением.

Пример 1

Дано:

△ A B C

△ D E F

, в которых

∠ A = 5 0^{\circ}

∠ B = 7 0^{\circ}

∠ D = 5 0^{\circ}

∠ E = 7 0^{\circ}

. Подобны ли треугольники?

Находим третий угол первого треугольника: $∠ C = 18 0^{\circ} - 5 0^{\circ} - 7 0^{\circ} = 6 0^{\circ}$ .
Находим третий угол второго треугольника: $∠ F = 18 0^{\circ} - 5 0^{\circ} - 7 0^{\circ} = 6 0^{\circ}$ .
Имеем $∠ A = ∠ D = 5 0^{\circ}$ и $∠ B = ∠ E = 7 0^{\circ}$ — два угла одного треугольника равны двум углам другого.
По признаку AA: $△ A B C \sim △ D E F$ .

Ответ: Да,

△ A B C \sim △ D E F

по признаку AA (два угла).

Пример 2

Дано:

△ A B C

△ A_{1} B_{1} C_{1}

, в которых

A B = 6

B C = 9

A C = 12

A_{1} B_{1} = 2

B_{1} C_{1} = 3

A_{1} C_{1} = 4

. Найти коэффициент подобия.

Подсказка: Сравнивайте стороны в одинаковом порядке: наибольшую с наибольшей и т.д.

Составляем отношения соответственных сторон: $\frac{A B}{A _{1} B _{1}} = \frac{6}{2} = 3$ .
Проверяем вторую пару: $\frac{B C}{B _{1} C _{1}} = \frac{9}{3} = 3$ .
Проверяем третью пару: $\frac{A C}{A _{1} C _{1}} = \frac{12}{4} = 3$ .
Все три отношения равны, по признаку SSS треугольники подобны, коэффициент подобия $k = 3$ .

Ответ:

△ A B C \sim △ A_{1} B_{1} C_{1}

, коэффициент подобия

k = 3

Пример 3

Дано: в

△ A B C

точка

D

лежит на стороне

A B

, точка

E

— на стороне

A C

, причём

D E ∥ B C

. Известно, что

A D = 4

D B = 6

A E = 5

. Найти

E C

Подсказка: Линия, параллельная стороне треугольника, всегда отсекает подобный треугольник — это стандартная конструкция.

Так как $D E ∥ B C$ , углы $∠ A D E = ∠ A B C$ и $∠ A E D = ∠ A C B$ (как соответственные при параллельных прямых и секущей).
Угол $∠ A$ — общий для $△ A D E$ и $△ A B C$ .
По признаку AA: $△ A D E \sim △ A B C$ .
Коэффициент подобия: $k = \frac{A D}{A B} = \frac{4}{4 + 6} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ .
Из подобия: $\frac{A E}{A C} = k$ , значит $A C = \frac{A E}{k} = \frac{5}{\frac{2}{5}} = 5 \cdot \frac{5}{2} = \frac{25}{2}$ .
Находим $E C$ : $E C = A C - A E = \frac{25}{2} - 5 = \frac{15}{2} = 7, 5$ .

Ответ:

E C = 7, 5

Пример 4

Дано: два треугольника

△ A B C

△ K L M

подобны с коэффициентом

k = \frac{3}{2}

. Площадь

△ K L M

равна

16

. Найти площадь

△ A B C

По свойству подобных треугольников: $\frac{S _{△ A B C}}{S _{△ K L M}} = k^{2}$ .
Подставляем значения: $\frac{S _{△ A B C}}{16} = (\frac{3}{2})^{2} = \frac{9}{4}$ .
Находим площадь: $S_{△ A B C} = 16 \cdot \frac{9}{4} = 4 \cdot 9 = 36$ .

Ответ:

S_{△ A B C} = 36

Пифика в Telegram Подпишись, и ты первым узнаешь о новых темах, заданиях и статьях. Подписаться

Частые ошибки

Путают порядок вершин: пишут $△ A B C \sim △ A_{1} B_{1} C_{1}$ , не проверив, что именно $A$ соответствует $A_{1}$ , $B$ — $B_{1}$ и т.д. В итоге неверно составляют пропорции сторон.
При признаке SAS берут угол, который не заключён между данными сторонами — признак в таком случае не применим.
Путают отношение площадей с отношением сторон: если $k = 3$ , то площадь больше в $9$ раз, а не в $3$ .
Проверяют пропорциональность сторон не соответственных, а «удобных» — например, наибольшую со второй по величине. Нужно сравнивать стороны, лежащие напротив равных углов.