8 класс Геометрия 9 мин чтения

Отношение площадей подобных фигур

Q: Как относятся площади подобных фигур?

Как квадрат коэффициента подобия: S₁/S = k². Если стороны больше в 3 раза, площадь больше в 9 раз.

Q: Как найти коэффициент подобия по площадям?

Извлечь корень из отношения площадей: k = √(S₁/S). При площадях 50 и 8 получаем k = √6,25 = 2,5.

Ангелина Владимировна, создатель и методист Пифики

Коротко: Если два многоугольника подобны с коэффициентом подобия

k

, то их площади относятся как

k^{2}

Проверь себя · 1 из 3

Сходственные стороны двух подобных треугольников относятся как

2 : 9

. Как относятся площади этих треугольников?

Архитекторы и дизайнеры постоянно работают с масштабом: уменьшают или увеличивают чертежи в несколько раз. Но почему, увеличив сторону квадрата вдвое, площадь вырастает сразу в четыре раза? Именно это объясняет теорема об отношении площадей подобных фигур.

сходственные стороны пропорциональны, углы равны

Содержание 10

Подобные фигуры и коэффициент подобия

Подобные фигуры — это фигуры, которые имеют одинаковую форму, но, возможно, разные размеры. Одна из них получается из другой растяжением (или сжатием) с некоторым коэффициентом.

Коэффициент подобия $k$ — это положительное число, на которое умножается каждая длина первой фигуры, чтобы получить соответствующую длину второй фигуры: $k = \frac{A _{1} B _{1}}{A B}$ где $A B$ — сторона (или любой отрезок) первой фигуры, $A^{'} B^{'}$ — соответствующий отрезок второй фигуры.

Формальное определение подобных треугольников. Треугольники $A B C$ и $A^{'} B^{'} C^{'}$ подобны ( $△ A B C \sim △ A^{'} B^{'} C^{'}$ ), если:

соответствующие углы равны: $∠ A = ∠ A^{'}$ , $∠ B = ∠ B^{'}$ , $∠ C = ∠ C^{'}$ ;
соответствующие стороны пропорциональны: $\frac{A ^{'} B ^{'}}{A B} = \frac{B ^{'} C ^{'}}{B C} = \frac{A ^{'} C ^{'}}{A C} = k$ .

Аналогичное определение распространяется на любые многоугольники: у них попарно равны все углы и пропорциональны все соответствующие стороны с одним и тем же коэффициентом $k$ .

Теорема об отношении площадей подобных треугольников

Теорема. Если

△ A B C \sim △ A_{1} B_{1} C_{1}

с коэффициентом подобия

k

, то:

\frac{S _{A_{1} B_{1} C_{1}}}{S _{A B C}} = k^{2}

Доказательство. Обозначим стороны и высоты:

$B C = a$ , $A^{'} B^{'} C^{'}$ соответствует сторона $a^{'} = k \cdot a$ ;
высота из $A$ в $△ A B C$ равна $h$ ; соответствующая высота в $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ равна $h^{'}$ .

Поскольку треугольники подобны, соотношение высот совпадает с коэффициентом подобия: $\frac{h ^{'}}{h} = k$ , то есть $h^{'} = k \cdot h$ .

Тогда площади: $S_{A B C} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$ $S_{A_{1} B_{1} C_{1}} = \frac{1}{2} \cdot a_{1} \cdot h_{1} = \frac{1}{2} \cdot (k \cdot a) \cdot (k \cdot h) = k^{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = k^{2} \cdot S_{A B C}$

Отсюда $\frac{S _{A^{'} B^{'} C^{'}}}{S _{A B C}} = k^{2}$ .

Ключевой смысл: при подобии каждый линейный размер умножается на $k$ , а площадь — на $k^{2}$ , потому что площадь зависит от двух линейных измерений одновременно (основание $\times$ высота).

Отношение площадей подобных многоугольников

Теорема распространяется на любые подобные многоугольники (не только треугольники).

Теорема (общая). Если многоугольники

F

F_{1}

подобны с коэффициентом подобия

k

, то:

\frac{S _{F_{1}}}{S _{F}} = k^{2}

Идея доказательства. Любой многоугольник можно разбить на треугольники диагоналями. При подобии каждый треугольник первого многоугольника переходит в подобный треугольник второго с тем же коэффициентом $k$ . Площадь каждой пары подобных треугольников отличается в $k^{2}$ раз, значит, и суммарные площади отличаются в $k^{2}$ раз.

Следствие. Если известно отношение площадей двух подобных фигур, можно найти коэффициент подобия:

k = \frac{S _{F_{1}}}{S _{F}}

Например, если площади подобных треугольников относятся как $9 : 4$ , то коэффициент подобия $k = \frac{9}{4} = \frac{3}{2}$ .

Связь периметров и площадей подобных фигур

Пусть многоугольники $F$ и $F_{1}$ подобны с коэффициентом подобия $k$ .

Периметры относятся так же, как и все линейные размеры — то есть пропорционально $k$ : $\frac{P _{F_{1}}}{P _{F}} = k$

Это следует из того, что каждая сторона многоугольника $F^{'}$ в $k$ раз больше соответствующей стороны $F$ , а периметр — сумма всех сторон.

Площади относятся как $k^{2}$ : $\frac{S _{F_{1}}}{S _{F}} = k^{2}$

Итоговое сравнение линейного и квадратичного масштабирования:

Характеристика	Отношение
Стороны, высоты, диагонали	$k$
Периметр	$k$
Площадь	$k^{2}$

Важное замечание. Коэффициент подобия

k

всегда положителен. Если

k > 1

— вторая фигура больше первой; если

k < 1

— меньше; если

k = 1

— фигуры равны (конгруэнтны).

Применение теоремы к практическим задачам

Теорема об отношении площадей подобных фигур применяется в нескольких типах задач.

Тип 1. Найти площадь второй фигуры, зная коэффициент подобия.
Если $S_{1}$ — площадь первой фигуры и $k$ — коэффициент подобия, то $S_{2} = k^{2} \cdot S_{1}$ .

Тип 2. Найти коэффициент подобия, зная площади.
Из $\frac{S _{2}}{S _{1}} = k^{2}$ следует $k = \frac{S _{2}}{S _{1}}$ .

Тип 3. Задачи на отрезки в треугольнике.
Если прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает треугольник, подобный исходному, то отношение их площадей равно квадрату отношения соответствующих сторон.

Тип 4. Отношение площадей частей.
Если высота треугольника делит его на два треугольника, или в задаче нужно найти, какую долю площади занимает меньшая подобная фигура, — используют формулу $\frac{S _{2}}{S _{1}} = k^{2}$ и вычитают.

Во всех случаях алгоритм одинаков:

Убедиться, что фигуры действительно подобны.
Найти коэффициент подобия $k$ из данных об отрезках — или найти $k$ из отношения площадей.
Подставить в нужную формулу.

Ключевые формулы

\frac{S _{F_{1}}}{S _{F}} = k^{2}

Отношение площадей подобных фигур через коэффициент подобия

k = \frac{S _{F_{1}}}{S _{F}}

Коэффициент подобия через отношение площадей

\frac{P _{F_{1}}}{P _{F}} = k

Отношение периметров подобных фигур (линейный масштаб)

S_{F_{1}} = k^{2} \cdot S_{F}

Площадь второй подобной фигуры через площадь первой

Запомни

При подобии с коэффициентом $k$ все длины умножаются на $k$ , а площадь — на $k^{2}$ .
Коэффициент подобия — это отношение соответствующих сторон: $k = \frac{A _{1} B _{1}}{A B}$ .
Из отношения площадей коэффициент подобия находят через корень: $k = \frac{S _{1}}{S}$ .
Периметры подобных фигур относятся как $k$ , а площади — как $k^{2}$ : степень удваивается.
Если $k = 2$ (стороны увеличились вдвое), площадь увеличивается в $4$ раза, а не в $2$ .

Разбор примеров

Попробуй решить сам, потом сверься с решением.

Пример 1

Два подобных треугольника имеют коэффициент подобия

k = 3

. Площадь меньшего треугольника равна

12

см

^{2}

. Найдите площадь большего треугольника.

По теореме об отношении площадей подобных фигур: $\frac{S _{1}}{S} = k^{2}$ .
$\frac{S _{1}}{12} = 3^{2} = 9$ .
$S_{1} = 9 \cdot 12 = 108$ см $^{2}$ .

Ответ: Площадь большего треугольника равна

108

см

^{2}

Пример 2

Площади двух подобных четырёхугольников равны

25

дм

^{2}

49

дм

^{2}

. Найдите коэффициент подобия (от меньшего к большему) и отношение их периметров.

Коэффициент подобия находим по формуле $k = \frac{S _{1}}{S}$ , где $S_{1} = 49$ дм $^{2}$ , $S = 25$ дм $^{2}$ .
$k = \frac{49}{25} = \frac{49}{25} = \frac{7}{5}$ .
Отношение периметров равно коэффициенту подобия: $\frac{P _{1}}{P} = k = \frac{7}{5}$ .

Ответ: Коэффициент подобия

k = \frac{7}{5}

, отношение периметров

\frac{P _{1}}{P} = \frac{7}{5}

Пример 3

В треугольнике

A B C

проведена прямая

M N

, параллельная стороне

B C

, где

M

лежит на

A B

N

— на

A C

. Известно, что

A M = 4

см,

A B = 10

см. Площадь треугольника

A B C

равна

75

см

^{2}

. Найдите площадь треугольника

A M N

Подсказка: Прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две другие стороны, отсекает треугольник, подобный данному. Коэффициент подобия — отношение соответствующих сторон.

Так как $M N ∥ B C$ , треугольник $A M N$ подобен треугольнику $A B C$ (по признаку подобия: два угла — общий угол $A$ и равные соответственные углы при параллельных прямых).
Коэффициент подобия: $k = \frac{A M}{A B} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ .
Отношение площадей: $\frac{S _{A M N}}{S _{A B C}} = k^{2} = (\frac{2}{5})^{2} = \frac{4}{25}$ .
$S_{A M N} = \frac{4}{25} \cdot 75 = \frac{300}{25} = 12$ см $^{2}$ .

Ответ: Площадь треугольника

A M N

равна

12

см

^{2}

Пример 4

Два подобных треугольника

A B C

A_{1} B_{1} C_{1}

имеют периметры

P = 18

см и

P_{1} = 30

см. Площадь треугольника

A B C

равна

27

см

^{2}

. Прямая

M N

, параллельная

B C

, делит треугольник

A B C

на трапецию

B M N C

и треугольник

A M N

так, что

\frac{A M}{A B} = \frac{1}{3}

. Найдите площадь трапеции

B M N C

Подсказка: Площадь части фигуры находят как разность:

S_{трапеции} = S_{всего} - S_{отрезанного треугольника}

. Сначала найти площадь меньшего подобного треугольника через

k^{2}

Треугольник $A M N \sim$ треугольнику $A B C$ с коэффициентом $k_{1} = \frac{A M}{A B} = \frac{1}{3}$ .
Площадь треугольника $A M N$ : $S_{A M N} = k_{1}^{2} \cdot S_{A B C} = (\frac{1}{3})^{2} \cdot 27 = \frac{1}{9} \cdot 27 = 3$ см $^{2}$ .
Площадь трапеции $B M N C$ — это разность площадей всего треугольника $A B C$ и отрезанного треугольника $A M N$ : $S_{B M N C} = S_{A B C} - S_{A M N} = 27 - 3 = 24$ см $^{2}$ .
(Данные о периметрах $P = 18$ и $P_{1} = 30$ относятся к треугольникам $A B C$ и $A_{1} B_{1} C_{1}$ — они не нужны для нахождения площади трапеции, но коэффициент подобия этих двух треугольников $k = \frac{P _{1}}{P} = \frac{30}{18} = \frac{5}{3}$ для справки.)

Ответ: Площадь трапеции

B M N C

равна

24

см

^{2}

Пифика в Telegram Подпишись, и ты первым узнаешь о новых темах, заданиях и статьях. Подписаться

Частые ошибки

Путают коэффициент подобия $k$ и отношение площадей: пишут $\frac{S _{1}}{S} = k$ вместо $\frac{S _{1}}{S} = k^{2}$ .
При нахождении $k$ из отношения площадей забывают извлечь корень: пишут $k = \frac{S _{1}}{S}$ вместо $k = \frac{S _{1}}{S}$ .
Считают, что периметры относятся как $k^{2}$ (по аналогии с площадями) — на самом деле периметры относятся как $k$ .
Неверно определяют порядок треугольников при записи подобия и берут обратный коэффициент $\frac{1}{k}$ вместо $k$ .

Частые вопросы

Как относятся площади подобных фигур?

Как квадрат коэффициента подобия:

\frac{S _{1}}{S} = k^{2}

. Если стороны больше в

3

раза, площадь больше в

9

раз.

Как найти коэффициент подобия по площадям?

Извлечь корень из отношения площадей:

k = \frac{S _{1}}{S}

. При площадях

50

8

получаем

k = 6, 25 = 2, 5