8 класс Геометрия 10 мин чтения

Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках

Q: Как разделить отрезок на равные части по теореме Фалеса?

Отложи на вспомогательном луче n равных отрезков, соедини последнюю точку с концом отрезка и проведи через остальные точки параллельные прямые.

Ангелина Владимировна, создатель и методист Пифики

Решать задания по теме

Коротко: Теорема Фалеса: если параллельные прямые отсекают на одной стороне угла равные отрезки, то и на другой стороне они отсекают равные отрезки. Обобщение: параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки. По теореме Фалеса любой отрезок можно разделить на равные части.

Проверь себя · 1 из 3

Через середину

M

стороны

A B

треугольника

A B C

проведена прямая, параллельная стороне

B C

. Она пересекает сторону

A C

в точке

N

. Найдите

A N

, если

A C = 35

Фалес Милетский жил в Древней Греции около 2600 лет назад. Его считают одним из первых, кто стал доказывать математические утверждения, а не только проверять их. Из теоремы Фалеса выводят свойство средней линии, способ делить отрезок на равные части и подобие треугольников. Разберём её простыми словами, с доказательством и задачами.

равные отрезки на одной стороне угла дают равные на другой

Как найти отрезок по пропорции

Найди параллельные прямые и угол, стороны которого они пересекают.
Выпиши отрезки на одной стороне и соответствующие на другой.
Составь пропорцию: отношение на одной стороне равно отношению на другой.
Найди неизвестный отрезок.

Пример. $O A_{1} = 4$ , $A_{1} A_{2} = 6$ , $O B_{1} = 5$ : $B_{1} B_{2} = \frac{6 \cdot 5}{4} = 7, 5$ .

Содержание 12

Теорема Фалеса простыми словами

Теорема Фалеса. Если на одной из двух прямых отложить несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, то на второй прямой они тоже отсекут равные отрезки.

Проще: параллельные прямые переносят равные отрезки с одной прямой на другую.

Важно: отрезки на второй прямой равны между собой. Отрезкам на первой прямой они могут быть не равны.

Чаще всего теорему применяют к сторонам угла. Если на одной стороне

$O A_{1} = A_{1} A_{2} = A_{2} A_{3}$

то на другой стороне

$O B_{1} = B_{1} B_{2} = B_{2} B_{3}$

Доказательство

Пусть на прямой $l_{1}$ отложены равные отрезки $A_{1} A_{2}$ и $A_{2} A_{3}$ . Параллельные прямые пересекают вторую прямую в точках $B_{1}$ , $B_{2}$ , $B_{3}$ . Докажем, что $B_{1} B_{2} = B_{2} B_{3}$ .

Если прямые параллельны, получаются параллелограммы. Их противоположные стороны равны, поэтому:

$B_{1} B_{2} = A_{1} A_{2} = A_{2} A_{3} = B_{2} B_{3}$

Если прямые не параллельны:

Через $B_{1}$ и $B_{2}$ проведём прямые, параллельные $l_{1}$ . Они встретят прямые $A_{2} B_{2}$ и $A_{3} B_{3}$ в точках $P$ и $Q$ .
Получились параллелограммы, поэтому $B_{1} P = A_{1} A_{2}$ и $B_{2} Q = A_{2} A_{3}$ . Значит, $B_{1} P = B_{2} Q$ .
Углы треугольников $B_{1} P B_{2}$ и $B_{2} Q B_{3}$ при этих сторонах равны: их стороны параллельны.
Треугольники равны по стороне и двум углам, поэтому $B_{1} B_{2} = B_{2} B_{3}$ .

Как разделить отрезок на равные части

Теорема Фалеса позволяет разделить отрезок на любое число равных частей циркулем и линейкой, без измерений.

Делим отрезок $A B$ на $n$ частей:

Проведи из точки $A$ любой луч.
Отложи на нём циркулем $n$ равных отрезков.
Соедини последнюю точку с точкой $B$ .
Через остальные точки проведи прямые, параллельные этому отрезку.

Они разделят $A B$ на $n$ равных частей. Так можно разделить даже отрезок $7$ см на $3$ части.

Теорема о пропорциональных отрезках

Теорема Фалеса говорит о равных отрезках. Её обобщение работает для любых.

Теорема о пропорциональных отрезках. Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на них пропорциональные отрезки:

\frac{O A _{1}}{A _{1} A _{2}} = \frac{O B _{1}}{B _{1} B _{2}}

Здесь $A_{1}$ и $A_{2}$ лежат на одной стороне угла $O$ , а $B_{1}$ и $B_{2}$ на другой. Можно сравнивать и отрезки от вершины:

$\frac{O A _{1}}{O A _{2}} = \frac{O B _{1}}{O B _{2}}$

В треугольнике то же самое. Если прямая $M N$ параллельна стороне $A C$ , то:

$\frac{B M}{M A} = \frac{B N}{N C}$

Связь со средней линией

Возьмём середину стороны треугольника и проведём через неё прямую, параллельную второй стороне. По теореме Фалеса она разделит пополам и третью сторону. Получится средняя линия треугольника.

А теорема о пропорциональных отрезках ведёт к подобию: прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает треугольник, подобный данному.

Другая теорема Фалеса

Иногда теоремой Фалеса называют другое утверждение: вписанный угол, который опирается на диаметр, прямой. Так её чаще называют в других странах. В школьной программе 8 класса теорема Фалеса это теорема про параллельные прямые и равные отрезки.

Ключевые формулы

\frac{O A _{1}}{A _{1} A _{2}} = \frac{O B _{1}}{B _{1} B _{2}}

Пропорциональные отрезки на сторонах угла

\frac{O A _{1}}{O A _{2}} = \frac{O B _{1}}{O B _{2}}

Отрезки от вершины угла

\frac{B M}{M A} = \frac{B N}{N C}

Прямая

M N

параллельна

A C

Запомни

Параллельные прямые переносят равные отрезки с одной прямой на другую.
На второй прямой отрезки равны между собой, но не обязательно отрезкам на первой.
Теорема о пропорциональных отрезках обобщает теорему Фалеса.
По теореме Фалеса отрезок делят на равные части циркулем и линейкой.

Разбор примеров

Попробуй решить сам, потом сверься с решением.

Пример 1

На стороне угла

O

отложены равные отрезки

O A_{1}

A_{1} A_{2}

A_{2} A_{3}

. Через их концы проведены параллельные прямые до другой стороны угла: точки

B_{1}

B_{2}

B_{3}

. Известно, что

O B_{3} = 12

. Найдите

O B_{1}

По теореме Фалеса $O B_{1} = B_{1} B_{2} = B_{2} B_{3}$ .
$O B_{3}$ состоит из трёх таких отрезков: $12 : 3 = 4$ .

Ответ:

4

Пример 2

Параллельные прямые

A_{1} B_{1}

A_{2} B_{2}

пересекают стороны угла

O

. Известно:

O A_{1} = 4

A_{1} A_{2} = 6

O B_{1} = 5

. Найдите

B_{1} B_{2}

$\frac{O A _{1}}{A _{1} A _{2}} = \frac{O B _{1}}{B _{1} B _{2}}$ .
$\frac{4}{6} = \frac{5}{B _{1} B _{2}}$ .
$B_{1} B_{2} = \frac{6 \cdot 5}{4} = 7, 5$ .

Ответ:

7, 5

Пример 3

Параллельные прямые

A_{1} B_{1}

A_{2} B_{2}

пересекают стороны угла

O

. Известно:

O B_{1} = 4

O B_{2} = 10

O A_{2} = 15

. Найдите

O A_{1}

$\frac{O A _{1}}{15} = \frac{4}{10}$ .
$O A_{1} = \frac{15 \cdot 4}{10} = 6$ .

Ответ:

6

Пример 4

Прямая, параллельная стороне

A C

треугольника

A B C

, пересекает

A B

в точке

M

, а

B C

в точке

N

. Известно:

B M = 6

M A = 4

B N = 9

. Найдите

N C

$\frac{B M}{M A} = \frac{B N}{N C}$ .
$\frac{6}{4} = \frac{9}{N C}$ .
$N C = \frac{4 \cdot 9}{6} = 6$ .

Ответ:

6

Пример 5

Прямая, параллельная

A C

, делит сторону

A B

треугольника

A B C

в отношении

3 : 2

, считая от

B

. Сторона

B C = 20

. На какие части она делит

B C

$B C$ делится в том же отношении $3 : 2$ .
Всего $5$ частей, одна часть $20 : 5 = 4$ .
$B N = 12$ , $N C = 8$ .

Ответ:

12

8

Пример 6

Боковая сторона

A B

трапеции разделена на

4

равные части, через точки деления проведены прямые, параллельные основаниям. Другая боковая сторона

C D = 12

. На какие части делится

C D

Основания тоже параллельны этим прямым. Они отсекают на $A B$ равные отрезки.
По теореме Фалеса на $C D$ тоже $4$ равные части.
$12 : 4 = 3$ .

Ответ:

4

части по

3

Пример 7

Разделите отрезок

A B = 7

см на

3

равные части циркулем и линейкой.

Проведи из $A$ луч и отложи на нём три равных отрезка.
Соедини третью точку с $B$ .
Через первые две точки проведи прямые, параллельные этому отрезку.
Они разделят $A B$ на три части по $2 \frac{1}{3}$ см.

Ответ: три части по

2 \frac{1}{3}

см

Пифика в Telegram Подпишись, и ты первым узнаешь о новых темах, заданиях и статьях. Подписаться

Частые ошибки

Думают, что отрезки на второй прямой равны отрезкам на первой. Равны они только между собой.
Применяют теорему, когда прямые не параллельны.
Путают отрезки в пропорции. Отрезок от вершины сравнивают с отрезком от вершины.

Частые вопросы

Как звучит теорема Фалеса?

Если на одной из двух прямых отложить несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, то на второй прямой они тоже отсекут равные отрезки.

Что такое теорема Фалеса простыми словами?

Параллельные прямые переносят равные отрезки с одной прямой на другую. На второй прямой отрезки равны между собой, но не обязательно равны отрезкам на первой.

Что такое теорема о пропорциональных отрезках?

Обобщение теоремы Фалеса: параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на них пропорциональные отрезки,

\frac{O A _{1}}{A _{1} A _{2}} = \frac{O B _{1}}{B _{1} B _{2}}

Как разделить отрезок на равные части по теореме Фалеса?

Отложи на вспомогательном луче

n

равных отрезков, соедини последнюю точку с концом отрезка и проведи через остальные точки параллельные прямые.