Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Когда знаменатели совпадают, целое в обеих дробях разрезано на равные части. Поэтому правило простое: знаменатель оставляем как есть, а числители складываем или вычитаем.

Здесь $a$ и $b$ числители (сколько кусков), а $n$ знаменатель (на сколько частей разрезано целое). Например, $\frac{3}{7}+\frac{2}{7}=\frac{5}{7}$.

А вот куски разного размера так складывать нельзя. Дальше разберём, что с ними делать. Подробнее про одинаковые знаменатели написано в теме 5 класса «Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями».

Что делать с $\frac{1}{4}$ и $\frac{1}{6}$? Это куски разного размера: четвертинка больше, чем шестая часть. Сначала нужно перерезать обе пиццы на одинаковые кусочки. По-научному это называется привести дроби к общему знаменателю.

Удобнее всего брать наименьший общий знаменатель. Это наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей, то есть самое маленькое число, которое делится на оба знаменателя.

Как найти НОК знаменателей:

1. Разложи каждый знаменатель на простые множители.
2. Возьми каждый множитель в наибольшей степени, в которой он встречается.
3. Перемножь то, что взял.

Найдём НОК(4, 6). Раскладываем: $4=2^2$, $6=2\cdot 3$. Берём $2^2$ и $3$:

$\text{НОК}(4,6)=2^2\cdot 3=12$

Значит, обе дроби будем «перерезать» на двенадцатые доли.

Теперь для каждой дроби находим дополнительный множитель: делим общий знаменатель на знаменатель дроби. Потом умножаем на него и числитель, и знаменатель. Дробь от этого не меняется, это основное свойство дроби:

$\frac{a}{b}=\frac{a\cdot k}{b\cdot k},k\ne 0$

Здесь $a$ числитель, $b$ знаменатель, $k$ число, на которое умножаем (любое, кроме нуля). Логика простая: разрежь каждый кусок пиццы пополам, и кусков станет вдвое больше, а пиццы останется столько же!

Лайфхак. Если больший знаменатель делится на меньший, он сам и есть общий знаменатель. Для $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{6}$ это просто 6, ничего считать не надо.

Теперь соберём всё вместе. План такой: сначала делаем знаменатели одинаковыми, а дальше работает уже знакомый простой случай.

Пример:

$\frac{1}{4}+\frac{1}{6}=\frac{1\cdot 3}{12}+\frac{1\cdot 2}{12}=\frac{3}{12}+\frac{2}{12}=\frac{5}{12}$

Самая главная ловушка! Нельзя складывать числители с числителями, а знаменатели со знаменателями:

$\frac{1}{4}+\frac{1}{6}\ne \frac{2}{10}$

Почему? Знаменатель показывает размер куска, а не количество. Если сложить четвертинку пиццы и шестую часть, размер кусков от этого не поменяется! Проверь сам: $\frac{2}{10}=\frac{1}{5}$, а это даже меньше, чем $\frac{1}{4}$, хотя мы что-то прибавляли. Так не бывает.

Ещё один пошаговый разбор с картинками и частыми ошибками есть в статье «Как складывать и вычитать дроби с разными знаменателями».

Смешанное число состоит из целой части и дроби, записанных рядом: $a\frac{b}{c}=a+\frac{b}{c}$. Например, $2\frac{3}{4}$ означает две целые пиццы и ещё $\frac{3}{4}$ пиццы. Здесь $a$ целая часть, $\frac{b}{c}$ дробная.

Работаем по частям: целые с целыми, дроби с дробями. Если знаменатели дробных частей разные, сначала приводим их к общему знаменателю.

Сложение. Складываем целые части, складываем дробные. Если дробная часть получилась неправильной (числитель больше знаменателя), выделяем из неё целое и добавляем к целым:

$2\frac{3}{4}+1\frac{5}{6}=3+\left(\frac{9}{12}+\frac{10}{12}\right)=3+\frac{19}{12}=3+1\frac{7}{12}=4\frac{7}{12}$

Вычитание. Тоже по частям. Но есть хитрость: если дробная часть первого числа меньше, чем у второго, нужно занять единицу у целой части, прямо как при вычитании в столбик! Единица превращается в дробь $\frac{n}{n}$, где $n$ общий знаменатель.

Пример: $3\frac{1}{2}-1\frac{2}{3}$. Приводим дробные части к знаменателю 6: $\frac{1}{2}=\frac{3}{6}$, $\frac{2}{3}=\frac{4}{6}$. Из $\frac{3}{6}$ нельзя вычесть $\frac{4}{6}$, не хватает. Занимаем единицу: $3\frac{3}{6}=2\frac{9}{6}$. Теперь всё получается:

$2\frac{9}{6}-1\frac{4}{6}=(2-1)+\left(\frac{9}{6}-\frac{4}{6}\right)=1\frac{5}{6}$

Запасной способ для запутанных случаев: перевести смешанные числа в неправильные дроби по формуле $a\frac{b}{c}=\frac{a\cdot c+b}{c}$, посчитать, а потом перевести ответ обратно. Так надёжнее при вычитании, но числа получаются крупнее.

Хорошая новость: дроби складываются по тем же законам, что и обычные числа. Ничего нового учить не надо!

Переместительный закон (от перестановки слагаемых сумма не меняется):

$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{c}{d}+\frac{a}{b}$

Сочетательный закон (слагаемые можно группировать как удобно):

$\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right)+\frac{e}{f}=\frac{a}{b}+\left(\frac{c}{d}+\frac{e}{f}\right)$

Зачем это знать? Чтобы считать быстрее! Если в длинной сумме есть дроби с одинаковыми знаменателями, сгруппируй их и сложи первыми. Например, в сумме $\frac{1}{7}+\frac{2}{3}+\frac{6}{7}$ удобно сначала сложить $\frac{1}{7}+\frac{6}{7}=1$, и общий знаменатель искать почти не придётся.