Окружность и круг. Основные понятия

Окружность — это геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от данной точки, называемой центром.

Запись: окружность с центром $O$ и радиусом $r$ обозначается $\omega (O,r)$.

Радиус — отрезок, соединяющий центр окружности с любой её точкой. Все радиусы одной окружности равны: $OA=OB=r$.

Диаметр — отрезок, соединяющий две точки окружности и проходящий через центр. Диаметр равен двум радиусам:
$d=2r$

Хорда — отрезок, соединяющий любые две точки окружности. Диаметр — частный случай хорды (наибольшая хорда).

Дуга — часть окружности, заключённая между двумя точками. Две точки $A$ и $B$ делят окружность на две дуги; меньшую обычно называют дугой $AB$ и обозначают $⌣AB$.

Круг — это геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, удалённых от центра не более чем на радиус $r$:
$\{M\mid OM\le r\}$

Главное отличие: окружность — это только граница (линия), а круг — вся «закрашенная» область внутри вместе с границей.

Поэтому:

• точка лежит на окружности, если $OM=r$;
• точка лежит внутри круга, если $OM<r$;
• точка лежит вне круга, если $OM>r$.

Сектор — часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой между ними.

Сегмент — часть круга, ограниченная хордой и дугой, которую эта хорда стягивает.

Число $\pi$ (пи) — математическая константа, равная отношению длины окружности к её диаметру: $\pi =\frac{C}{d}\approx 3,14$

Длина окружности (обозначается $C$):
$C=2\pi r=\pi d$

Площадь круга (обозначается $S$):
$S=\pi r^2$

Почему именно $\pi r^2$? Представь, что круг разрезан на очень много тонких секторов и сложен в прямоугольник: его высота $\approx r$, а основание $\approx \pi r$ (половина длины окружности). Площадь такого «прямоугольника»: $r\cdot \pi r=\pi r^2$. Это не строгое доказательство, но хорошая интуиция.

Площадь кольца (область между двумя концентрическими окружностями с радиусами $R$ и $r$, $R>r$): $S_{\text{кольца}}=\pi R^2-\pi r^2=\pi (R^2-r^2)$

Пусть $d$ — расстояние от центра $O$ до прямой $l$, $r$ — радиус окружности.

Касательная к окружности — прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку (точку касания). Важное свойство: касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания:
$OT\perp l$, где $T$ — точка касания.

Секущая — прямая, пересекающая окружность в двух точках.

Пусть две окружности имеют центры $O_1$ и $O_2$, радиусы $r_1$ и $r_2$ ($r_1\ge r_2$), а $d=O_1{O}_2$ — расстояние между центрами.

• Внешнее расположение: $d>r_1+r_2$ — окружности не пересекаются, каждая вне другой.
• Внешнее касание: $d=r_1+r_2$ — одна общая точка, окружности касаются снаружи.
• Пересечение: $|r_1-r_2|<d<r_1+r_2$ — две общие точки.
• Внутреннее касание: $d=r_1-r_2$ — одна общая точка, меньшая касается большей изнутри.
• Вложение: $d<r_1-r_2$ — одна окружность целиком внутри другой, общих точек нет.
• Концентрические окружности: $d=0$ — одинаковый центр, общих точек нет (если $r_1\ne r_2$).