Длина окружности и площадь круга: формулы и как найти

Окружность это линия, как обруч. Круг это часть плоскости внутри окружности, как блин.

Поэтому у окружности есть длина, а у круга площадь.

Радиус $r$ соединяет центр с точкой окружности. Диаметр $d$ проходит через центр от края до края, он в два раза длиннее радиуса:

$d=2r$

Возьми любую банку, обмотай её ниткой и измерь нитку. Потом измерь диаметр банки и раздели одно на другое. Выйдет чуть больше трёх.

Это отношение одинаково для любой окружности, от монеты до экватора. Его обозначают греческой буквой $\pi$ («пи»):

$\pi =\frac{C}{d}=3,14159\dots$

Цифры после запятой идут бесконечно и не повторяются. В школе берут $\pi \approx 3,14$, иногда $\frac{22}{7}$.

Колесо велосипеда имеет диаметр 70 см. За один оборот оно проезжает

$C=3,14\cdot 70=219,8\text{ см}$

Чтобы проехать километр, это $100000$ см, колесу нужно $100000:219,8\approx 455$ оборотов.

Выражаем из формулы длины:

$d=\frac{C}{\pi }r=\frac{C}{2\pi }$

Длина окружности 12,56 см. Диаметр $12,56:3,14=4$ см, радиус 2 см.

Если известен диаметр, сначала найди радиус, $r=d:2$. Или сразу по формуле $S=\frac{\pi d^2}{4}$.

Пицца диаметром 30 см: радиус 15 см, площадь

$S=3,14\cdot 15^2=3,14\cdot 225=706,5{\text{ см}}^2$

А две пиццы по 20 см дают вместе $2\cdot 3,14\cdot 10^2=628$ см². Одна большая пицца больше двух маленьких.

Раздели площадь на $\pi$ и извлеки квадратный корень:

$r=\sqrt{\frac{S}{\pi }}$

Площадь круга 28,26 см². $28,26:3,14=9$, значит, $r^2=9$ и $r=3$ см.

Если известна длина окружности, а нужна площадь, сначала найди радиус: $r=C:(2\pi )$. При $C=31,4$ см радиус 5 см, площадь $78,5$ см².

Дуга это кусок окружности, сектор это кусок круга, как кусок пиццы. Если угол сектора $n$ градусов, он составляет $\frac{n}{360}$ всего круга:

$l=\frac{\pi rn}{180}S=\frac{\pi r^{2}n}{360}$

Четверть круга радиусом 4 см, это угол 90°:

$S=\frac{3,14\cdot 16\cdot 90}{360}=12,56{\text{ см}}^2$

Эти формулы проходят в 9 классе на геометрии.

• Площадь через диаметр без деления. $S=\pi d^2$ неверно. Правильно $S=\frac{\pi d^2}{4}$ или $S=\pi r^2$.
• Диаметр вместо радиуса. $C=2\pi d$ даёт ответ в два раза больше. Либо $2\pi r$, либо $\pi d$.
• Перепутали формулы. Для длины нет квадрата: $C=2\pi r$. Для площади есть: $S=\pi r^2$.
• Возвели в квадрат лишнее. В $\pi r^2$ в квадрат возводится только радиус, а не $\pi r$ целиком.
• Не те единицы. Длину пишут в сантиметрах, площадь в квадратных сантиметрах.
• π вместо числа. Если в условии «$\pi \approx 3,14$», ответ должен быть числом. Если сказано «ответ дайте через $\pi$», пиши $10\pi$, а не $31,4$.