Параллельные прямые. Признаки параллельности

Обозначение: $a\parallel b$ (читается «прямая $a$ параллельна прямой $b$»).

Важное уточнение: мы всегда говорим о прямых, лежащих в одной плоскости. В пространстве прямые могут не пересекаться и при этом не быть параллельными (скрещивающиеся прямые), но в курсе 7 класса работаем только с плоскостью.

Эта аксиома — фундамент всей евклидовой геометрии: она не доказывается, а принимается как исходный факт.

Секущая — прямая, пересекающая две (или более) другие прямые в различных точках.

Когда секущая $c$ пересекает прямые $a$ и $b$, образуются 8 углов. Среди них выделяют три важные пары:

• Накрест лежащие углы — по разные стороны от секущей и по разные стороны от каждой из прямых (например, $\angle 3$ и $\angle 5$ на стандартном рисунке). Они лежат как бы «крест-накрест».
• Односторонние (соответственные) углы — по одну и ту же сторону от секущей, один между прямыми, другой снаружи: $\angle 1$ и $\angle 5$, $\angle 2$ и $\angle 6$ и т. д. Их ещё называют соответственными.
• Односторонние углы (сонаправленные). Два угла по одну сторону от секущей, оба между прямыми: $\angle 3$ и $\angle 6$, $\angle 4$ и $\angle 5$. Их сумма при параллельных прямых равна $180^{\circ }$.

Запомнить, какие углы «накрест лежащие», помогает образ: представь, что секущая — это дорога, а пара углов «смотрит» в разные стороны относительно этой дороги.

Признак — это достаточное условие: если выполнен, то прямые точно параллельны.

Все три признака — это теоремы, каждая из которых доказывается через аксиому параллельных прямых и свойства вертикальных и смежных углов. Логика доказательства Признака 1, например, такова: предположим, что прямые не параллельны и пересекаются; тогда образуется треугольник, в котором внешний угол равен не-смежному внутреннему — противоречие с теоремой о внешнем угле треугольника. Следовательно, прямые параллельны.

Признаки говорят: «если углы такие — прямые параллельны». Свойства говорят обратное: «если прямые параллельны — углы такие».

Свойства используются для нахождения углов, когда параллельность уже известна или задана.

При решении задач действуй по следующей схеме:

1. Определи, какие прямые нужно доказать параллельными (или найти угол).
2. Найди секущую, пересекающую обе прямые.
3. Определи, какая пара углов образована: накрест лежащие, соответственные или односторонние.
4. Проверь условие нужного признака (равенство или сумма $180^{\circ }$).
5. Запиши вывод: «прямые параллельны по признаку...».

При нахождении неизвестного угла (когда параллельность дана) — применяй свойства в обратном порядке: сначала определи тип пары, затем запиши равенство или сумму.