7 класс Геометрия 8 мин чтения

Третий признак равенства треугольников

Ангелина Владимировна, создатель и методист Пифики

Коротко: Третий признак равенства треугольников позволяет установить равенство двух треугольников, если известны все три стороны одного и соответствующие три стороны другого.

Проверь себя · 1 из 3

По какому набору данных работает ТРЕТИЙ признак равенства треугольников?

Представь, что тебе дали три палки определённой длины и попросили сложить треугольник — окажется, что другого треугольника с теми же тремя сторонами не получится. Именно это наблюдение лежит в основе третьего признака равенства треугольников, который часто применяют в задачах на доказательство и в строительстве — например, чтобы убедиться, что фермы крыши одинаковы.

три стороны равны → треугольники равны

Содержание 9

Формулировка третьего признака

Третий признак равенства треугольников: если три стороны одного треугольника равны соответственно трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Запишем кратко: пусть в треугольниках $△ A B C$ и $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ выполнено
$A B = A_{1} B_{1}$ , $B C = B_{1} C_{1}$ , $A C = A_{1} C_{1}$ .
Тогда $△ A B C = △ A_{1} B_{1} C_{1}$ .

Из равенства треугольников следует, что все соответствующие углы тоже равны: $∠ A = ∠ A_{1}$ , $∠ B = ∠ B_{1}$ , $∠ C = ∠ C_{1}$ .

Почему достаточно трёх сторон

Интуитивное объяснение: попробуй «согнуть» треугольник, не меняя длин сторон — это невозможно. Углы жёстко зафиксированы длинами сторон (в отличие от четырёхугольника, который «складывается»).

Идея доказательства:

Наложим $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ на $△ A B C$ так, чтобы совместились стороны $A_{1} B_{1}$ и $A B$ (вершина $A_{1}$ — с $A$ , вершина $B_{1}$ — с $B$ ).
Тогда $C$ и $C_{1}$ могут лежать по одну сторону от прямой $A B$ или по разные.
В любом случае рассматривают равнобедренные треугольники $△ C C_{1} A$ и $△ C C_{1} B$ (бёдра которых равны по условию) и применяют свойство оси симметрии равнобедренного треугольника, чтобы показать совпадение точки $C_{1}$ с точкой $C$ .

Полное доказательство изучается на уроке; нам важно уверенно применять признак.

Три признака равенства треугольников: сравнительная таблица

Полезно видеть все три признака рядом, чтобы не перепутать, какой применять:

Признак	Что должно быть равно
I (СУС)	две стороны и угол между ними
II (УСУ)	две стороны и два угла при одной
III (ССС)	три стороны

III признак (ССС) — самый «дорогой»: требует знать все три стороны, зато ничего не нужно знать об углах.

Как применять признак в задачах

Алгоритм:

Найди два треугольника, равенство которых нужно доказать (или использовать).
Установи, что $A B = A_{1} B_{1}$ , $B C = B_{1} C_{1}$ , $A C = A_{1} C_{1}$ — для каждой пары сторон запиши обоснование (дано, общая сторона, ранее доказанное равенство).
Сделай вывод о равенстве треугольников со ссылкой: «по третьему признаку равенства треугольников».
Из равенства треугольников выпиши нужные равные элементы (углы или стороны).

Частый приём: в задачах на равенство треугольников общая сторона (диагональ, медиана и т.п.) автоматически равна сама себе — это всегда можно использовать как одно из трёх равенств сторон.

Следствия и связанные факты

Следствие 1. Если все стороны треугольника определены, то его углы определены однозначно. Поэтому задача «построить треугольник по трём сторонам» имеет единственное решение (с точностью до движения).

Следствие 2. По теореме косинусов (изучается позже) каждый угол выражается через стороны:

cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}

Это подтверждает: стороны однозначно задают углы.

Важно: признак ССС применим только тогда, когда тройка чисел вообще образует треугольник — сумма двух любых сторон должна быть больше третьей:

a + b > c

. Если это не выполнено, треугольник с такими сторонами не существует.

Ключевые формулы

A B = A_{1} B_{1}, B C = B_{1} C_{1}, A C = A_{1} C_{1} ⟹ △ A B C = △ A_{1} B_{1} C_{1}

Третий признак (ССС): условие равенства треугольников

a + b > c

Неравенство треугольника: необходимое условие существования

△ A B C = △ A_{1} B_{1} C_{1} ⟹ ∠ A = ∠ A_{1}, ∠ B = ∠ B_{1}, ∠ C = ∠ C_{1}

Из равенства треугольников следует равенство всех соответствующих углов

Запомни

Третий признак: три стороны одного треугольника равны трём сторонам другого — треугольники равны (ССС).
Из равенства треугольников автоматически следует равенство всех соответствующих углов.
Общая сторона двух треугольников равна сама себе — это готовое равенство сторон.
Признак ССС работает только если данные три длины вообще образуют треугольник: сумма любых двух сторон больше третьей.
После применения признака всегда указывай, какие именно углы или стороны теперь равны — из этого строится дальнейшее решение.

Разбор примеров

Попробуй решить сам, потом сверься с решением.

Пример 1

Дан отрезок

A B

. Точка

C

не лежит на прямой

A B

. Точка

D

— такая точка, что

D A = C B

D B = C A

C D = A B

. Докажи, что

△ A B C = △ D C B

Подсказка: Ищи общую сторону — она сразу даёт одно из трёх нужных равенств.

Выпишем три пары сторон: $A B = C D$ (по условию $C D = A B$ ).
$B C = C B$ — это одна и та же сторона, она общая для обоих треугольников.
$A C = D B$ — по условию $D B = C A$ .
Все три стороны $△ A B C$ равны соответствующим сторонам $△ D C B$ : $A B = D C$ , $B C = C B$ , $A C = D B$ .
По третьему признаку равенства треугольников $△ A B C = △ D C B$ .

Ответ: Треугольники

△ A B C

△ D C B

равны по третьему признаку (ССС).

Пример 2

На рисунке:

A B = C D = 5 см

B C = A D = 7 см

B D

— диагональ четырёхугольника

A B C D

. Докажи, что

∠ A B D = ∠ C D B

Подсказка: Диагональ — общая сторона обоих треугольников. Это ключевой шаг.

Рассмотрим треугольники $△ A B D$ и $△ C D B$ .
$A B = C D = 5 см$ (по условию).
$A D = B C = 7 см$ (по условию).
$B D = D B$ — общая сторона (диагональ).
По третьему признаку равенства треугольников $△ A B D = △ C D B$ .
Из равенства треугольников следует $∠ A B D = ∠ C D B$ как соответствующие углы.

Ответ:

∠ A B D = ∠ C D B

Пример 3

Точка

M

— середина отрезка

A C

. На луче

B M

за точкой

M

отложен отрезок

M D = B M

. Докажи, что

A B = C D

Рассмотрим треугольники $△ A B M$ и $△ C D M$ .
$A M = C M$ , так как $M$ — середина $A C$ (по условию).
$B M = D M$ , так как $M D = B M$ (по условию построения).
$∠ A M B = ∠ C M D$ как вертикальные углы.
Это условие первого признака (СУС): два треугольника равны по первому признаку, $△ A B M = △ C D M$ .
Из равенства треугольников $A B = C D$ как соответствующие стороны.

Ответ:

A B = C D

Пример 4

В треугольнике

△ A B C

проведена медиана

B M

(

M

— середина

A C

). Известно, что

A B = B C

. Докажи, что медиана

B M

является биссектрисой угла

B

, то есть

∠ A B M = ∠ C B M

Подсказка: В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, одновременно является биссектрисой и высотой. Это доказывается именно через третий признак.

Рассмотрим треугольники $△ A B M$ и $△ C B M$ .
$A B = C B$ — по условию (треугольник равнобедренный).
$A M = C M$ , так как $M$ — середина $A C$ (медиана делит основание пополам).
$B M = B M$ — общая сторона.
Три стороны $△ A B M$ равны трём сторонам $△ C B M$ : $A B = C B$ , $A M = C M$ , $B M = B M$ .
По третьему признаку равенства треугольников $△ A B M = △ C B M$ .
Из равенства треугольников $∠ A B M = ∠ C B M$ — соответствующие углы.

Ответ:

∠ A B M = ∠ C B M

, то есть медиана

B M

является биссектрисой угла

B

Пифика в Telegram Подпишись, и ты первым узнаешь о новых темах, заданиях и статьях. Подписаться

Частые ошибки

Путают порядок вершин: пишут $△ A B C = △ A_{1} B_{1} C_{1}$ , но стороны берут несоответствующие (например, $A B = B_{1} C_{1}$ ). Соответствие вершин должно строго соблюдаться.
Применяют признак ССС, зная только две стороны, а третью «подразумевают» из рисунка без явного обоснования.
Забывают, что из равенства треугольников нужно явно выписать нужный равный элемент — нельзя сразу писать ответ без ссылки на признак.
Считают, что если три угла равны, то треугольники тоже равны — это неверно (подобие, а не равенство). Признак ССС требует именно стороны.