Прямая пропорциональность y = kx

Представь: ты скачиваешь игру со скоростью 5 МБ в секунду. За 1 секунду скачается 5 МБ, за 2 секунды — 10 МБ, за 10 секунд — 50 МБ. Объём скачанного всегда в 5 раз больше числа секунд.

Обозначим время буквой $x$ (секунды), а объём скачанного — буквой $y$ (мегабайты). Тогда связь между ними записывается одной формулой: $y=5x$

Таких ситуаций море:

• стоимость покупки = цена · количество;
• путь = скорость · время (если скорость не меняется);
• зарплата за час · число часов.

Во всех случаях одна величина получается из другой умножением на одно и то же число. Это число и есть главный герой темы.

Прямой пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой $y=kx,$ где $x$ — независимая переменная (аргумент), $y$ — зависимая переменная (значение функции), а $k$ — некоторое число, не равное нулю. Число $k$ называют коэффициентом прямой пропорциональности.

Коэффициент $k$ показывает, на сколько изменится $y$, когда $x$ увеличится на 1. В примере со скачиванием $k=5$: каждая лишняя секунда добавляет 5 МБ.

Как найти $k$, если он не дан? Раздели $y$ на $x$: $k=\frac{y}{x},x\ne 0$

И это деление даёт одно и то же число для любой пары $(x;y)$. Проверим на шаурме: $400:2=200$, $600:3=200$. Отношение постоянно — значит, перед нами прямая пропорциональность с $k=200$.

Важно: $k$ может быть и отрицательным. Например, $y=-3x$ — тоже прямая пропорциональность: при $x=2$ получаем $y=-6$.

Построим график функции $y=2x$. Составим таблицу значений:

Отметим точки на координатной плоскости — они выстраиваются в одну линию. График прямой пропорциональности — прямая, проходящая через начало координат, то есть через точку $(0;0)$.

Почему через начало координат? Подставь $x=0$ в формулу: $y=k\cdot 0=0$ При любом $k$ точка $(0;0)$ лежит на графике. Это фирменный знак прямой пропорциональности.

Для построения хватает двух точек: одна уже есть — это $(0;0)$, вторую находим подстановкой любого удобного $x$. Для $y=2x$ берём $x=1$, получаем точку $(1;2)$ — и проводим через них прямую.

Знак коэффициента определяет направление прямой:

• если $k>0$ — прямая идёт вверх слева направо (график лежит в I и III координатных четвертях);
• если $k<0$ — прямая идёт вниз слева направо (график лежит во II и IV четвертях).

Модуль коэффициента отвечает за «крутизну»: чем больше $|k|$, тем круче прямая прижимается к оси $y$. Сравни: $y=5x$ взлетает резко, а $y=0,2x$ поднимается полого.

Если $k>0$, то с ростом $x$ значение $y$ тоже растёт — функция возрастающая. Если $k<0$ — с ростом $x$ значение $y$ убывает.

Принадлежит ли точка графику? Подставь её координаты в формулу. Точка $(3;12)$ и функция $y=4x$: проверяем $12=4\cdot 3$ — верно, точка на графике. Точка $(2;9)$: $9\ne 4\cdot 2=8$ — точка не на графике.

Является ли формула прямой пропорциональностью? Смотри, можно ли привести её к виду $y=kx$:

• $y=\frac{x}{4}$ — да, это $y=0,25x$, коэффициент $k=0,25$;
• $y=2x+3$ — нет: мешает слагаемое $+3$, график не пройдёт через $(0;0)$;
• $y=\frac{5}{x}$ — нет: здесь $x$ в знаменателе, это совсем другая зависимость;
• $y=x^2$ — нет: $x$ во второй степени.

Является ли таблица прямой пропорциональностью? Раздели каждое $y$ на его $x$. Если везде получается одно и то же число — да, и это число равно $k$.