Линейная функция и её график

Линейная функция — это функция, которую можно задать формулой

$y=kx+b,$

где $x$ — независимая переменная (аргумент), $y$ — зависимая переменная (значение функции), $k$ и $b$ — числа, причём $k\ne 0$.

Число $k$ называют угловым коэффициентом, а $b$ — свободным членом.

Если $b=0$, функция принимает вид $y=kx$ и называется прямой пропорциональностью — это частный случай линейной функции.

Область определения линейной функции — все действительные числа, то есть $x$ может быть любым.

График линейной функции — прямая линия. Чтобы построить прямую, достаточно двух точек.

Алгоритм построения:

1. Выбери два удобных значения $x$ (обычно $x=0$ и ещё одно целое число).
2. Вычисли соответствующие значения $y$ по формуле.
3. Отметь обе точки на координатной плоскости.
4. Проведи через них прямую и продли в обе стороны.

Пример. Для $y=2x-1$:

• При $x=0$: $y=2\cdot 0-1=-1$, точка $(0;-1)$.
• При $x=2$: $y=2\cdot 2-1=3$, точка $(2;3)$.

Через эти две точки проводим прямую.

Где прямая пересекает оси?

• С осью $Oy$ (при $x=0$): $y=b$. Значит, свободный член $b$ — это ордината точки пересечения с вертикальной осью.
• С осью $Ox$ (при $y=0$): из уравнения $kx+b=0$ получаем $x=-\frac{b}{k}$.

Угловой коэффициент $k$ определяет, как расположена прямая.

Знак $k$:

• Если $k>0$, прямая идёт снизу-слева вверх-вправо (функция возрастает).
• Если $k<0$, прямая идёт сверху-слева вниз-вправо (функция убывает).

Величина $|k|$:

• Чем больше $|k|$, тем круче (отвеснее) прямая.
• Чем меньше $|k|$, тем положе (горизонтальнее) прямая.

Геометрический смысл $k$: при увеличении $x$ на $1$ значение $y$ изменяется ровно на $k$. Например, при $k=3$ каждый шаг вправо на $1$ единицу поднимает точку прямой на $3$ единицы вверх.

Свободный член $b$: сдвигает прямую вдоль оси $Oy$. При $b>0$ прямая смещена вверх, при $b<0$ — вниз относительно прямой $y=kx$.

Две линейные функции $y=k_{1}x+b_1$ и $y=k_{2}x+b_2$ могут располагаться по-разному.

Вывод: прямые параллельны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты равны, а свободные члены различны. Это важно при решении систем уравнений: если коэффициенты $k$ равны, а $b$ разные, общих точек нет — система не имеет решений.