Что такое функция. График функции

Представь: ты покупаешь шоколадки по 90 рублей. Одна шоколадка — 90 рублей, две — 180, три — 270. Стоимость покупки зависит от количества шоколадок. Если обозначить количество буквой $x$, а стоимость буквой $y$, то зависимость запишется так:

$y=90x$

Здесь $x$ — количество шоколадок, а $y$ — стоимость в рублях. Подставил $x$ — получил $y$. Причём для каждого $x$ ответ только один: три шоколадки не могут стоить «то ли 270, то ли 500».

Таких зависимостей вокруг полно:

• путь зависит от времени: едешь со скоростью 60 км/ч, тогда $s=60t$, где $s$ — путь в километрах, $t$ — время в часах;
• сумма на карте зависит от числа дней, если каждый день тратишь одинаково;
• периметр квадрата зависит от его стороны: $P=4a$, где $P$ — периметр, $a$ — сторона.

У величин в функции есть свои имена. Та величина, которую мы выбираем сами (подставляем), — это аргумент, или независимая переменная. Обычно её обозначают $x$. Та величина, которая получается в ответ, — это значение функции, или зависимая переменная. Обычно это $y$.

Чтобы не писать каждый раз формулу целиком, используют запись:

$y=f(x)$

Здесь $f$ — имя функции (просто буква-«ярлык», как ник в игре), $x$ — аргумент, $y$ — значение функции. Читается «эф от икс».

Запись $f(2)$ означает: «возьми правило $f$ и подставь в него число 2». Например, если $f(x)=90x$, то:

$f(2)=90\cdot 2=180$

Говорят: значение функции в точке $x=2$ равно 180. То есть две шоколадки стоят 180 рублей.

Важно: функцию можно задать формулой, таблицей или графиком — это просто три разных способа описать одно и то же правило.

Не любое число можно подставить в функцию. Вернёмся к шоколадкам: $x=-3$ шоколадки купить нельзя, а $x=2,5$ шоколадки в магазине не продают. Значит, для этой задачи подходят только целые неотрицательные $x$.

Откуда берутся ограничения:

• из смысла задачи: время, длина, количество не бывают отрицательными;
• из самой формулы: например, в функции $y=\frac{12}{x}$ нельзя брать $x=0$, потому что на ноль делить нельзя.

Если формула не запрещает ничего и задача не накладывает ограничений, то областью определения считают все числа. Например, у функции $y=3x-5$ область определения — любые числа: подставляй хоть $-100$, хоть $0,7$.

Формула — это правило, а график — его портрет. Берём координатную плоскость: горизонтальная ось $Ox$ — для аргумента, вертикальная ось $Oy$ — для значения функции.

Как построить график по формуле, например $y=2x+1$:

• составь таблицу: подставь несколько значений $x$ и посчитай $y$;
• при $x=0$ получаем $y=1$, при $x=1$ получаем $y=3$, при $x=-1$ получаем $y=-1$;
• отметь точки $(0;1)$, $(1;3)$, $(-1;-1)$ на плоскости;
• соедини их. У этой функции все точки лягут на одну прямую.

Читать график — значит отвечать на вопросы о функции, глядя на картинку, без формулы. Два главных приёма:

1. По иксу найти игрек. Хочешь узнать $y$ при $x=2$? Найди 2 на горизонтальной оси, поднимись (или спустись) вертикально до графика, а потом иди горизонтально к оси $Oy$. Число, в которое упрёшься, и есть значение функции.

2. По игреку найти икс. Всё то же самое, но в обратном порядке: стартуешь с оси $Oy$, идёшь горизонтально до графика, потом вертикально вниз (или вверх) к оси $Ox$.

Отдельный важный вопрос: где график пересекает оси?

• точка пересечения с осью $Oy$ — это значение функции при $x=0$;
• точка пересечения с осью $Ox$ — это аргумент, при котором $y=0$. Такое значение $x$ называют нулём функции.

Эти приёмы работают для любого графика — хоть прямой, хоть кривой. Поэтому, освоив их сейчас, ты будешь читать любые графики до 11 класса включительно.