Формулы сокращённого умножения

Формулы сокращённого умножения — это тождества, то есть равенства, верные при любых значениях переменных. Они получаются обычным раскрытием скобок, но запоминаются как готовый результат, чтобы не повторять одни и те же вычисления снова и снова.

Это не отдельные «магические» правила, а следствия обычных свойств умножения. Каждую формулу можно вывести самостоятельно, просто перемножив скобки. Именно поэтому их называют тождествами: они выполняются всегда, без дополнительных условий.

В 7 классе изучают три основные группы:

• квадрат суммы и квадрат разности;
• разность квадратов;
• куб суммы и куб разности, а также сумма и разность кубов.

Квадрат суммы двух выражений:

$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$

Откуда берётся средний член? Раскроем скобки честно: $(a+b{)}^2=(a+b)(a+b)=a\cdot a+a\cdot b+b\cdot a+b\cdot b=a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2$. Два одинаковых перекрёстных произведения $ab$ складываются — отсюда коэффициент $2$.

Квадрат разности двух выражений:

$(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$

Здесь перекрёстные произведения имеют разные знаки и дают $-2ab$. Заметь: значение $(a-b{)}^2$ всегда неотрицательно, потому что это квадрат, то есть $(a-b{)}^2\ge 0$ при любых $a$ и $b$.

Структура обеих формул одинакова:

• первый член — квадрат первого слагаемого;
• средний член — удвоенное произведение слагаемых (его знак совпадает со знаком в скобках);
• третий член — квадрат второго слагаемого (всегда со знаком «$+$»).

Разность квадратов двух выражений:

$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$

Проверим: $(a+b)(a-b)=a^2-ab+ab-b^2=a^2-b^2$. Перекрёстные произведения уничтожают друг друга — поэтому в результате нет среднего члена.

Эта формула работает в обе стороны:

• слева направо — раскладываем разность квадратов на множители;
• справа налево — перемножаем сумму и разность, не раскрывая скобки полностью.

Пример в устных вычислениях: $101\cdot 99=(100+1)(100-1)=100^2-1^2=10000-1=9999$. Без калькулятора.

Куб суммы двух выражений:

$(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$

Куб разности двух выражений:

$(a-b{)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$

Эти формулы получают раскрытием: $(a+b{)}^3=(a+b{)}^2\cdot (a+b)=(a^2+2ab+b^2)(a+b)$, после чего перемножают скобки обычным способом.

Как запомнить: в кубе суммы все знаки «$+$», а в кубе разности они чередуются: «$+$», «$-$», «$+$», «$-$». Коэффициенты при средних членах всегда равны $3$.

Рядом стоят парные тождества, которые часто используют при разложении на множители:

• $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ — сумма кубов;
• $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ — разность кубов.

Не путай куб разности $(a-b{)}^3$ и разность кубов $a^3-b^3$: это разные формулы.

Сумма кубов раскладывается на два множителя:

$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

Разность кубов:

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

Проверь раскрытием скобок: $(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3-a^{2}b+a{b}^2+a^{2}b-a{b}^2+b^3=a^3+b^3$. Средние члены взаимно уничтожаются.

Как не перепутать знаки. Первая скобка повторяет знак из условия: у суммы кубов там плюс, у разности минус. Во второй скобке перед $ab$ стоит противоположный знак, а $b^2$ всегда идёт с плюсом. Вторую скобку называют неполным квадратом: в ней просто $ab$, а не $2ab$.

Пример. $x^3-8=x^3-2^3=(x-2)(x^2+2x+4)$.

Пример. $27+y^3=3^3+y^3=(3+y)(9-3y+y^2)$.

При решении задач действуй по шагам.

1. Определи, к какой формуле подходит выражение: посмотри на его структуру (есть ли квадраты, кубы, удвоенное произведение).
2. Выдели $a$ и $b$ — что именно является первым и вторым «элементом» формулы. Ими могут быть не только числа, но и одночлены: например, $a=3x$, $b=2y$.
3. Подставь $a$ и $b$ в нужную часть формулы.
4. Упрости результат.

Формулы работают в обе стороны:

• раскрытие скобок — берём левую часть, записываем правую;
• разложение на множители — замечаем структуру правой части, записываем левую.

Чтобы проверить, верно ли выбраны $a$ и $b$, используй средний член: в квадрате суммы он равен $2ab$. Если в задаче стоит $x^2+10x+25$, то $2ab=10x$, значит $ab=5x$, откуда $a=x$, $b=5$, и выражение равно $(x+5{)}^2$.