Формулы сокращённого умножения: таблица, примеры и как запомнить

1. Квадрат суммы

$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$

2. Квадрат разности

$(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$

3. Разность квадратов

$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$

4. Куб суммы

$(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$

5. Куб разности

$(a-b{)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$

6. Сумма кубов

$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

7. Разность кубов

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

Вместо $a$ и $b$ можно подставить что угодно: число, букву, $3x$, $\frac{1}{2}y$.

Возведём $a+b$ в квадрат честно, умножив скобку на себя:

$(a+b{)}^2=(a+b)(a+b)=a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2$

Средний член $2ab$ получается из двух одинаковых произведений $ab$. Его чаще всего и теряют.

На картинке то же самое. Квадрат со стороной $a+b$ состоит из квадрата $a^2$, квадрата $b^2$ и двух прямоугольников $ab$.

Пример: $(x+5{)}^2=x^2+2\cdot x\cdot 5+25=x^2+10x+25$.

$(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$

Отличие от квадрата суммы одно: минус перед $2ab$. Последний член $b^2$ всё равно с плюсом, ведь квадрат числа не бывает отрицательным.

Пример: $(x-4{)}^2=x^2-8x+16$.

Пример с одночленами: $(3a-2b{)}^2=9a^2-12ab+4b^2$. Здесь $(3a{)}^2=9a^2$, а удвоенное произведение $2\cdot 3a\cdot 2b=12ab$.

$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$

Проверим раскрытием скобок: $(a-b)(a+b)=a^2+ab-ab-b^2=a^2-b^2$. Средние члены сокращаются, поэтому в ответе всего два слагаемых.

Примеры:

• $(x+3)(x-3)=x^2-9$
• $49-y^2=(7-y)(7+y)$
• $16x^2-25=(4x-5)(4x+5)$

С этой формулой легко решать уравнения. Решим $x^2-16=0$:

$(x-4)(x+4)=0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Значит, $x=4$ или $x=-4$.

$(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$

$(a-b{)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$

В кубе четыре слагаемых с коэффициентами $1,3,3,1$. Степень $a$ убывает от 3 до 0, степень $b$ растёт от 0 до 3.

У куба суммы все знаки плюс. У куба разности знаки чередуются: плюс, минус, плюс, минус.

Пример: $(x+2{)}^3=x^3+3\cdot x^2\cdot 2+3\cdot x\cdot 4+8=x^3+6x^2+12x+8$.

$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

Знаки запоминаются так. Первая скобка повторяет знак из условия. Во второй перед $ab$ стоит противоположный знак, а $b^2$ всегда с плюсом.

Вторую скобку называют неполным квадратом: в ней $ab$, а не $2ab$.

Примеры:

• $x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)$
• $27+y^3=(3+y)(9-3y+y^2)$

Формулы экономят время не только в алгебре. С ними легко считать квадраты и произведения чисел рядом с круглыми.

• $51^2=(50+1{)}^2=2500+100+1=2601$
• $49^2=(50-1{)}^2=2500-100+1=2401$
• $99\cdot 101=(100-1)(100+1)=10000-1=9999$
• $38\cdot 42=(40-2)(40+2)=1600-4=1596$

Опиши число через круглое плюс-минус немного, и дальше считай по формуле.

Читаем формулы справа налево. Сначала смотрим, сколько слагаемых и какие в них степени.

• Три слагаемых, два из них квадраты. Проверь квадрат суммы или разности: $x^2-10x+25=(x-5{)}^2$, потому что $10x=2\cdot x\cdot 5$.
• Два квадрата через минус. Разность квадратов: $4a^2-9=(2a-3)(2a+3)$.
• Два куба. Сумма или разность кубов: $a^3-1=(a-1)(a^2+a+1)$.

Если у всех слагаемых есть общий множитель, сначала вынеси его: $2x^2-18=2(x^2-9)=2(x-3)(x+3)$.

• Потеряли средний член. $(a+b{)}^2=a^2+b^2$ неверно. Правильно: $a^2+2ab+b^2$.
• Не тот знак у 2ab. В $(a-b{)}^2$ средний член равен $-2ab$.
• Минус у последнего члена. $(x-3{)}^2=x^2-6x-9$ неверно. Правильно: $x^2-6x+9$.
• Не возвели коэффициент. $(2x{)}^2=2x^2$ неверно. Правильно: $4x^2$.
• Разложили сумму квадратов. $a^2+b^2=(a+b)(a+b)$ неверно: справа получится $a^2+2ab+b^2$.
• Спутали кубы. $(a-b{)}^3$ и $a^3-b^3$ это разные выражения.