8 класс Алгебра 7 мин чтения

Иррациональные уравнения

Q: Как решать иррациональные уравнения?

Уединить корень, возвести обе части в квадрат и решить получившееся уравнение. Затем подставить корни в исходное: возведение в квадрат может дать посторонние.

Q: Откуда берутся посторонние корни?

Квадраты равны и у противоположных чисел. Уравнение √x = x - 2 после возведения даёт x = 4 и x = 1, но при x = 1 правая часть отрицательна, поэтому ответ только 4.

Ангелина Владимировна, создатель и методист Пифики

Решать задания по теме

Коротко: Иррациональные уравнения — это уравнения, в которых переменная стоит под знаком корня, и их решают методом возведения обеих частей в степень с обязательной проверкой посторонних корней.

Проверь себя · 1 из 3

Реши уравнение

x = 1, 5

Представь, что нужно найти сторону квадрата, если известна его площадь — вот тут и появляются квадратные корни в уравнениях. Иррациональные уравнения встречаются в физике (скорость, волны), геометрии и повсюду, где вычисления связаны с корнями.

Содержание 10

Что такое иррациональное уравнение

Иррациональное уравнение — уравнение, в котором неизвестная (или выражение с неизвестной) находится под знаком корня.

Примеры иррациональных уравнений:

$x = 3$
$2 x - 1 = x - 2$
$x + 5 + x - 3 = 4$

В отличие от рациональных уравнений, здесь нельзя просто перенести слагаемые — нужно избавиться от корня, возведя обе части уравнения в нужную степень.

Область допустимых значений (ОДЗ). Прежде чем решать, важно понять: выражение под корнем чётной степени (квадратный корень, корень 4-й степени и т.д.) должно быть неотрицательным. Для $f (x)$ обязательно $f (x) \geq 0$ .

Метод возведения в степень и посторонние корни

Главный инструмент решения — возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень.

Если $A = B$ , то $A^{n} = B^{n}$ . Но обратное неверно: из $A^{2} = B^{2}$ не следует $A = B$ (возможно $A = - B$ ).

Поэтому при возведении в чётную степень могут появляться посторонние корни — значения, которые удовлетворяют полученному уравнению, но не исходному.

Пример появления постороннего корня:

Исходное: $x = - 2$ . Это уравнение не имеет решений (левая часть $\geq 0$ , а правая $< 0$ ).

Если возвести в квадрат: $x = 4$ . Подставим: $4 = 2 \neq = - 2$ — корень посторонний.

Вывод: после нахождения корней ВСЕГДА проводи проверку подстановкой в исходное уравнение.

Алгоритм решения простейшего иррационального уравнения

Для уравнения вида $f (x) = g (x)$ следуй шагам:

Определи ОДЗ: $f (x) \geq 0$ .
Запиши условие на правую часть: $g (x) \geq 0$ (иначе равенство невозможно, так как $f (x) \geq 0$ ).
Возведи обе части в квадрат: $f (x) = [g (x)]^{2}$ .
Реши полученное уравнение.
Проверь каждый найденный корень подстановкой в исходное уравнение (или проверь выполнение условий из шагов 1–2).

Важно: условие

g (x) \geq 0

вместе с

f (x) \geq 0

обеспечивает отсутствие посторонних корней. На практике удобнее просто подставить найденные значения в исходное уравнение.

Уравнения с двумя корнями: метод изоляции

Если уравнение содержит два иррациональных выражения, используют метод изоляции: один корень переносят в одну сторону, другой оставляют.

Схема для $f (x) + g (x) = c$ :

Изолируй один корень: $f (x) = c - g (x)$ .
Запиши условие: $c - g (x) \geq 0$ .
Возведи обе части в квадрат.
Изолируй оставшийся корень и снова возведи в квадрат.
Реши полученное уравнение и проверь корни.

Число возведений в квадрат равно числу иррациональных слагаемых.

Уравнения с корнями нечётной степени

Корни нечётной степени ( $3 \cdot$ , $5 \cdot$ и т.д.) определены для любых вещественных чисел, в том числе отрицательных.

Для уравнения $3 f (x) = g (x)$ можно смело возводить обе части в куб: $f (x) = [g (x)]^{3}$ .

Посторонние корни при возведении в нечётную степень не появляются, однако проверка не будет лишней.

ОДЗ для таких уравнений — вся числовая прямая (при отсутствии других ограничений, например знаменателей).

Ключевые формулы

f (x) = g (x) ⟺ {g (x) \geq 0 f (x) = [g (x)]^{2}

Основное правило: возведение в квадрат (когда g(x) ≥ 0)

f (x) определён ⟺ f (x) \geq 0

ОДЗ квадратного корня

a^{2} = ∣ a ∣

Свойство: корень из квадрата (всегда неотрицателен)

3 f (x) = g (x) ⟺ f (x) = [g (x)]^{3}

Возведение в нечётную степень (посторонних корней нет)

Запомни

Квадратный корень всегда неотрицателен: $f (x) \geq 0$ .
Перед возведением в квадрат правая часть уравнения должна быть $\geq 0$ ; иначе решений нет.
Возведение в чётную степень может давать посторонние корни — проверяй каждый ответ подстановкой в исходное уравнение.
При корнях нечётной степени ОДЗ — вся числовая прямая, посторонних корней не возникает.
Если под корнем стоит выражение, сначала определи ОДЗ, а потом решай уравнение.

Разбор примеров

Попробуй решить сам, потом сверься с решением.

Пример 1

Решить уравнение:

2 x - 1 = 3

ОДЗ: $2 x - 1 \geq 0$ , то есть $x \geq 0, 5$ .
Правая часть $3 > 0$ — условие выполнено.
Возводим обе части в квадрат: $2 x - 1 = 9$ .
$2 x = 10$ , откуда $x = 5$ .
Проверка: $2 \cdot 5 - 1 = 9 = 3$ — верно.

Ответ:

x = 5

Пример 2

Решить уравнение:

x + 3 = x - 3

Подсказка: Условие

g (x) \geq 0

отсеивает посторонний корень ещё до проверки.

ОДЗ: $x + 3 \geq 0$ , то есть $x \geq - 3$ .
Условие на правую часть: $x - 3 \geq 0$ , то есть $x \geq 3$ .
Возводим обе части в квадрат: $x + 3 = (x - 3)^{2}$ .
$(x - 3)^{2} = x^{2} - 6 x + 9$ , значит $x + 3 = x^{2} - 6 x + 9$ .
Переносим всё в одну сторону: $x^{2} - 7 x + 6 = 0$ .
По формуле дискриминанта: $D = 49 - 24 = 25$ , $D = 5$ .
$x_{1} = \frac{7 + 5}{2} = 6$ , $x_{2} = \frac{7 - 5}{2} = 1$ .
Проверка условия $x \geq 3$ : $x_{1} = 6$ — подходит, $x_{2} = 1$ — не подходит.
Проверка подстановкой $x = 6$ : $6 + 3 = 9 = 3 = 6 - 3$ — верно.

Ответ:

x = 6

Пример 3

Решить уравнение:

3 x + 4 - x = 2

Подсказка: После изоляции одного корня применяй метод возведения в квадрат дважды, если нужно.

ОДЗ: $3 x + 4 \geq 0$ и $x \geq 0$ , откуда $x \geq 0$ .
Изолируем один корень: $3 x + 4 = 2 + x$ .
Условие: $2 + x \geq 0$ — выполнено при $x \geq 0$ .
Возводим в квадрат: $3 x + 4 = (2 + x)^{2} = 4 + 4 x + x$ .
Упрощаем: $3 x + 4 = 4 + 4 x + x$ , то есть $2 x = 4 x$ .
При $x \neq = 0$ делим на $2 x$ : $x = 2$ , откуда $x = 4$ .
Проверяем $x = 0$ отдельно: $4 - 0 = 2$ — тоже верно.
Проверка $x = 4$ : $16 - 4 = 4 - 2 = 2$ — верно.

Ответ:

x = 0

x = 4

Пример 4

Решить уравнение:

x + 1 + 2 x - 1 = 5 x

Подсказка: Уравнение с тремя корнями решают двумя последовательными возведениями в квадрат.

ОДЗ: $x + 1 \geq 0$ , $2 x - 1 \geq 0$ , $5 x \geq 0$ , откуда $x \geq 0, 5$ .
Возводим обе части в квадрат: $(x + 1 + 2 x - 1)^{2} = 5 x$ .
Левая часть: $(x + 1) + 2 (x + 1) (2 x - 1) + (2 x - 1) = 5 x$ .
Упрощаем: $3 x + 2 (x + 1) (2 x - 1) = 5 x$ .
$2 (x + 1) (2 x - 1) = 2 x$ , то есть $(x + 1) (2 x - 1) = x$ .
Условие: $x \geq 0$ — уже выполнено при $x \geq 0, 5$ .
Возводим в квадрат снова: $(x + 1) (2 x - 1) = x^{2}$ .
$(x + 1) (2 x - 1) = 2 x^{2} - x + 2 x - 1 = 2 x^{2} + x - 1$ .
$2 x^{2} + x - 1 = x^{2}$ , откуда $x^{2} + x - 1 = 0$ .
$x = \frac{- 1 \pm 1 + 4}{2} = \frac{- 1 \pm 5}{2}$ .
$x_{1} = \frac{- 1 + 5}{2} \approx 0, 618$ — удовлетворяет ОДЗ ( $\geq 0, 5$ ).
$x_{2} = \frac{- 1 - 5}{2} < 0$ — не удовлетворяет ОДЗ.
Проверка $x_{1}$ : подстановка подтверждает равенство.

Ответ:

x = \frac{- 1 + 5}{2}

Пифика в Telegram Подпишись, и ты первым узнаешь о новых темах, заданиях и статьях. Подписаться

Частые ошибки

Забыть проверить корни: после возведения в квадрат ученики часто не подставляют ответ в исходное уравнение и принимают посторонний корень за настоящий.
Не учесть условие на правую часть: уравнение $x + 1 = x - 3$ не имеет решений при $x < 3$ , но ученики этого не замечают и получают лишние корни.
Ошибка при возведении в квадрат суммы: $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ , а не $a^{2} + b^{2}$ . Это особенно критично, когда правая часть содержит два слагаемых.
Потеря ОДЗ: ученик решает уравнение, находит корень, но не проверяет, что выражение под корнем неотрицательно при этом значении переменной.

Частые вопросы

Как решать иррациональные уравнения?

Уединить корень, возвести обе части в квадрат и решить получившееся уравнение. Затем подставить корни в исходное: возведение в квадрат может дать посторонние.

Откуда берутся посторонние корни?

Квадраты равны и у противоположных чисел. Уравнение

x = x - 2

после возведения даёт

x = 4

x = 1

, но при

x = 1

правая часть отрицательна, поэтому ответ только

4