8 класс Алгебра 8 мин чтения

Решение задач с помощью квадратных уравнений

Ангелина Владимировна, создатель и методист Пифики

Коротко: Квадратные уравнения позволяют переводить текстовые задачи на язык алгебры и находить неизвестные величины, связанные нелинейными зависимостями.

Проверь себя · 1 из 3

Произведение двух последовательных натуральных чисел равно

56

. Если меньшее число

x

, какое уравнение составить?

Строители рассчитывают площади, физики описывают полёт тела, экономисты ищут точку безубыточности — во всех этих случаях появляется уравнение второй степени. Умение составить и решить такое уравнение по условию задачи — один из ключевых навыков алгебры.

Содержание 9

Что такое квадратное уравнение

Квадратное уравнение — это уравнение вида $a x^{2} + b x + c = 0$ , где $a \neq = 0$ , а $a$ , $b$ , $c$ — числа (коэффициенты).

Коэффициент $a$ называют старшим, $b$ — коэффициентом при $x$ , $c$ — свободным членом.

Если $b = 0$ , уравнение называют неполным квадратным вида $a x^{2} + c = 0$ .
Если $c = 0$ , получаем $a x^{2} + b x = 0$ — тоже неполное.

Каждое квадратное уравнение имеет не более двух корней (решений). Сколько именно — определяет дискриминант.

Дискриминант и формула корней

Дискриминант квадратного уравнения $a x^{2} + b x + c = 0$ вычисляется по формуле $D = b^{2} - 4 a c$ .

По знаку дискриминанта сразу видно, сколько корней имеет уравнение:

Знак $D$	Число корней	Что значит
$D > 0$	2 корня	уравнение имеет два различных решения
$D = 0$	1 корень	два совпадающих корня
$D < 0$	0 корней	вещественных решений нет

Если $D \geq 0$ , корни находят по формуле: $x_{1, 2} = \frac{- b \pm D}{2 a}$

Почему именно так? Формула получается выделением полного квадрата из $a x^{2} + b x + c$ . Это стандартный алгебраический приём, который изучался при работе с тождествами.

Алгоритм решения текстовой задачи

Переход от условия задачи к уравнению — самый важный и творческий шаг. Следуй чёткому плану.

Прочитай задачу и выдели, что известно и что нужно найти.
Введи переменную. Обозначь буквой (чаще всего $x$ ) одну из неизвестных величин. Укажи единицу измерения.
Выразь остальные величины через $x$ , опираясь на условие задачи.
Составь уравнение: запиши связь между величинами в виде равенства.
Реши уравнение: найди дискриминант, затем корни.
Проверь корни по условию задачи. Отрицательные или дробные значения длины, числа людей и т. п. не подходят — их отбрасывают.
Запиши ответ полным предложением с единицами измерения.

Важно: математически уравнение может иметь два корня, но по смыслу задачи подходит только один — это нормально.

Типовые сюжеты задач

В школьной программе встречается несколько устойчивых типов задач.

На площадь и геометрию. Площадь прямоугольника $S = a \cdot b$ . Если одна сторона выражена через другую линейно, подстановка даёт квадратное уравнение.

На движение. Используют формулу $S = v \cdot t$ , откуда $t = \frac{S}{v}$ . Если скорости двух объектов связаны условием, составляют уравнение относительно одной скорости.

На совместную работу. Производительность — $\frac{1}{T}$ (доля работы за единицу времени). Сумма производительностей равна общей производительности.

На числа. Задачи вида «найди число, если произведение числа и числа на 3 больше него равно 40» прямо приводят к уравнению $x (x + 3) = 40$ .

Проверка и отбор корней

После нахождения корней всегда нужно вернуться к условию задачи.

Длина, ширина, расстояние, время, масса — только положительные числа.
Число людей, деталей, этажей — целые положительные числа.
Если оба корня удовлетворяют смысловым ограничениям, ответ содержит оба значения.

Проверку подстановкой в уравнение (алгебраическую) следует отличать от смысловой проверки: первая показывает, что вычисления верны, вторая — что ответ соответствует условию задачи.

Ключевые формулы

D = b^{2} - 4 a c

Дискриминант квадратного уравнения

x_{1, 2} = \frac{- b \pm D}{2 a}

Формула корней (при D ≥ 0)

S = v \cdot t

Формула пути (для задач на движение)

\frac{1}{T _{1}} + \frac{1}{T _{2}} = \frac{1}{T}

Производительность (для задач на работу)

Запомни

Перед составлением уравнения обязательно укажи, что обозначает $x$ и в каких единицах.
Дискриминант $D = b^{2} - 4 a c$ : если $D < 0$ — вещественных корней нет.
Оба корня уравнения нужно проверить по смыслу задачи: не все математические ответы являются реальными.
В задачах на движение время $t = \frac{S}{v}$ ; разница или сумма времён — источник уравнения.
Неполное уравнение $a x^{2} + b x = 0$ решают вынесением $x$ за скобку, не деля на $x$ .

Разбор примеров

Попробуй решить сам, потом сверься с решением.

Пример 1

Найди два последовательных натуральных числа, произведение которых равно 56.

Пусть меньшее число равно $x$ , тогда следующее равно $x + 1$ .
Составим уравнение: $x (x + 1) = 56$ .
Раскроем скобки: $x^{2} + x - 56 = 0$ .
Найдём дискриминант: $D = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 56) = 1 + 224 = 225$ .
$D = 15$ .
Корни: $x_{1} = \frac{- 1 + 15}{2} = 7$ , $x_{2} = \frac{- 1 - 15}{2} = - 8$ .
По смыслу задачи $x$ — натуральное число, поэтому $x = 7$ .
Числа: $7$ и $8$ .

Ответ: 7 и 8

Пример 2

Площадь прямоугольника равна

60

см

^{2}

. Длина на

7

см больше ширины. Найди стороны прямоугольника.

Пусть ширина прямоугольника равна $x$ см, тогда длина равна $(x + 7)$ см.
Площадь прямоугольника: $x (x + 7) = 60$ .
Раскроем скобки: $x^{2} + 7 x - 60 = 0$ .
Дискриминант: $D = 7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 60) = 49 + 240 = 289$ .
$D = 17$ .
Корни: $x_{1} = \frac{- 7 + 17}{2} = 5$ , $x_{2} = \frac{- 7 - 17}{2} = - 12$ .
Ширина не может быть отрицательной, поэтому $x = 5$ см.
Длина: $5 + 7 = 12$ см.

Ответ: Ширина 5 см, длина 12 см

Пример 3

Из пункта А в пункт Б, расстояние между которыми

120

км, выехал велосипедист. Если бы он ехал на

2

км/ч быстрее, то затратил бы на

1

ч меньше. С какой скоростью ехал велосипедист?

Подсказка: Время = расстояние / скорость. Разность времён равна 1 часу — это и даёт уравнение.

Пусть скорость велосипедиста равна $v$ км/ч.
Время в пути при скорости $v$ : $t_{1} = \frac{120}{v}$ ч.
Время при скорости $(v + 2)$ : $t_{2} = \frac{120}{v + 2} ч$ .
По условию $t_{1} - t_{2} = 1$ : $\frac{120}{v} - \frac{120}{v + 2} = 1$ .
Умножим обе части на $v (v + 2)$ : $120 (v + 2) - 120 v = v (v + 2)$ .
Упростим левую часть: $120 v + 240 - 120 v = v^{2} + 2 v$ .
Получим уравнение: $v^{2} + 2 v - 240 = 0$ .
Дискриминант: $D = 4 + 960 = 964$ . Нет — пересчитаем: $D = 2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 240) = 4 + 960 = 964$ .
Хм, $964$ не целое. Проверим составление: $\frac{120}{v} - \frac{120}{v + 2} = 1 \Rightarrow 120 (v + 2) - 120 v = v (v + 2) \Rightarrow 240 = v^{2} + 2 v$ .
Уравнение: $v^{2} + 2 v - 240 = 0$ .
$D = 4 + 960 = 964$ , $964 \approx 31, 05$ — нецелое. Берём $v_{1} = \frac{- 2 + 964}{2} \approx \frac{- 2 + 31 , 05}{2} \approx 14, 5$ км /ч.
Проверим с целыми: если $v = 15$ , то $t_{1} = 8$ ч, $t_{2} = \frac{120}{17} \approx 7, 06 ч$ — разница не 1. Значит ответ нецелый.
Ответ: $v = \frac{- 2 + 964}{2} \approx 14, 5$ км /ч.

Ответ: Скорость велосипедиста приблизительно 14,5 км/ч

Пример 4

Два мастера вместе выполняют заказ за

6

дней. Первый мастер в одиночку справился бы на

5

дней быстрее, чем второй. За сколько дней каждый выполнит заказ в одиночку?

Подсказка: Сумма производительностей двух мастеров равна их совместной производительности. Обозначь время второго за

x

Пусть второй мастер в одиночку выполняет заказ за $x$ дней, тогда первый — за $(x - 5)$ дней.
За один день второй делает $\frac{1}{x}$ работы, первый — $\frac{1}{x - 5}$ работы.
Вместе за день они делают $\frac{1}{6}$ работы.
Составим уравнение: $\frac{1}{x - 5} + \frac{1}{x} = \frac{1}{6}$ .
Умножим на $6 x (x - 5)$ : $6 x + 6 (x - 5) = x (x - 5)$ .
Раскроем: $6 x + 6 x - 30 = x^{2} - 5 x$ .
Упростим: $12 x - 30 = x^{2} - 5 x$ .
Перенесём всё в правую часть: $x^{2} - 17 x + 30 = 0$ .
Дискриминант: $D = 1 7^{2} - 4 \cdot 30 = 289 - 120 = 169$ .
$D = 13$ .
Корни: $x_{1} = \frac{17 + 13}{2} = 15$ , $x_{2} = \frac{17 - 13}{2} = 2$ .
При $x_{2} = 2$ : первый мастер работал бы $2 - 5 = - 3$ дня — не имеет смысла.
Поэтому $x = 15$ : второй мастер работает $15$ дней, первый — $15 - 5 = 10$ дней.

Ответ: Первый мастер — 10 дней, второй — 15 дней

Пифика в Telegram Подпишись, и ты первым узнаешь о новых темах, заданиях и статьях. Подписаться

Частые ошибки

Делить обе части уравнения на $x$ при решении $a x^{2} + b x = 0$ — при этом теряется корень $x = 0$ .
Не проверять корни по смыслу задачи и записывать отрицательное значение длины или времени как ответ.
Путать знаки при подстановке в формулу дискриминанта: $b^{2} - 4 a c$ , а не $b^{2} + 4 a c$ .
Составить уравнение верно, но ошибиться в единицах: смешивать километры и метры, часы и минуты в одном выражении.