8 класс Алгебра 8 мин чтения

Функция y = ax², её свойства и график

Ангелина Владимировна, создатель и методист Пифики

Коротко: Функция вида

y = a x^{2}

— простейшая квадратная функция, чей график является параболой, открытой вверх или вниз в зависимости от знака коэффициента

a

Проверь себя · 1 из 3

Для

y = x^{2} - 4 x

сравни

y (1)

y (3)

. Поставь знак

<, >

или

=

Параболы встречаются повсюду: траектория мяча, брошенного под углом, форма параболической антенны, профиль автомобильной фары — всё это примеры квадратичной зависимости. Умея работать с функцией $y = a x^{2}$ , ты закладываешь фундамент для изучения любых квадратных уравнений и неравенств.

y = ax² + bx + c — парабола

Содержание 8

Определение и общий вид

Квадратная функция в простейшей форме записывается как $y = a x^{2}$ , где $a \neq = 0$ — числовой коэффициент.

Несколько примеров:

$y = 2 x^{2}$ — коэффициент $a = 2$ ;
$y = - x^{2}$ — коэффициент $a = - 1$ ;
$y = \frac{1}{3} x^{2}$ — коэффициент $a = \frac{1}{3}$ .

Область определения — все действительные числа: $x \in (- \infty; + \infty)$ , то есть подставлять можно любое $x$ .

Почему $a \neq = 0$ ? При $a = 0$ функция превращается в $y = 0$ — константу, а не квадратную зависимость.

График функции — парабола

График $y = a x^{2}$ — парабола с вершиной в начале координат $(0; 0)$ .

Ось симметрии параболы — ось $O y$ (прямая $x = 0$ ): если взять значение $x$ и $- x$ , то $y$ будет одинаковым, потому что $(- x)^{2} = x^{2}$ .

Как построить параболу (табличный метод):

Составить таблицу значений, подставив несколько значений $x$ (обычно $0, \pm 1, \pm 2, \pm 3$ ).
Вычислить соответствующие $y$ .
Отметить точки на координатной плоскости и соединить плавной кривой.

Пример таблицы для $y = x^{2}$ :

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$y$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$

Обрати внимание: левая и правая части таблицы симметричны — это следствие чётности функции.

Свойства функции y = ax²

1. Чётность. Функция $y = a x^{2}$ является чётной: $f (- x) = a (- x)^{2} = a x^{2} = f (x)$ для любого $x$ . Это означает, что парабола симметрична относительно оси $O y$ .

2. Направление ветвей (роль знака $a$ ).

Если $a > 0$ : ветви параболы направлены вверх, вершина — наименьшее значение функции ( $y_{m i n} = 0$ ).
Если $a < 0$ : ветви направлены вниз, вершина — наибольшее значение ( $y_{m a x} = 0$ ).

3. Область значений.

При $a > 0$ : $y \geq 0$ , то есть функция принимает только неотрицательные значения.
При $a < 0$ : $y \leq 0$ , то есть функция принимает только неположительные значения.

4. Монотонность.

При $a > 0$ : на промежутке $(- \infty; 0]$ функция убывает, на $[0; + \infty)$ — возрастает.
При $a < 0$ : на $(- \infty; 0]$ возрастает, на $[0; + \infty)$ — убывает.

5. Влияние модуля $∣ a ∣$ на «ширину» параболы.

Чем больше $∣ a ∣$ , тем уже и круче парабола.
Чем меньше $∣ a ∣$ (но $∣ a ∣ > 0$ ), тем парабола шире.

Например, $y = 3 x^{2}$ — узкая парабола; $y = \frac{1}{3} x^{2}$ — широкая.

Построение и сравнение парабол

Чтобы не ошибиться при построении, удобно пользоваться симметрией: достаточно вычислить $y$ при $x \geq 0$ , а левую ветвь отразить.

Как сравнить две параболы $y = a_{1} x^{2}$ и $y = a_{2} x^{2}$ при одном и том же $x > 0$ :

Если $a_{1} > a_{2} > 0$ , то $a_{1} x^{2} > a_{2} x^{2}$ — первая парабола лежит выше второй при $x \neq = 0$ .
Обе проходят через начало координат.

Точки пересечения с осями координат:

С осью $O y$ : подставляем $x = 0$ , получаем $y = a \cdot 0^{2} = 0$ . Парабола $y = a x^{2}$ всегда проходит через начало координат.
С осью $O x$ : при $y = 0$ уравнение $a x^{2} = 0$ имеет единственное решение $x = 0$ . Значит, парабола касается оси $O x$ только в вершине.

Ключевые формулы

y = a x^{2}, a \neq = 0

Общий вид простейшей квадратной функции

V (0; 0)

Координаты вершины параболы y = ax²

x = 0

Ось симметрии параболы y = ax²

f (- x) = f (x)

Свойство чётности: значения в симметричных точках равны

Запомни

Парабола $y = a x^{2}$ всегда проходит через начало координат — её вершина $(0; 0)$ .
Знак $a$ определяет направление ветвей: $a > 0$ — вверх, $a < 0$ — вниз.
Модуль $∣ a ∣$ отвечает за «ширину»: больше $∣ a ∣$ — уже парабола, меньше — шире.
Функция чётная: парабола симметрична относительно оси $O y$ .
При $a > 0$ область значений $y \geq 0$ ; при $a < 0$ — область значений $y \leq 0$ .

Разбор примеров

Попробуй решить сам, потом сверься с решением.

Пример 1

Постройте график функции

y = 2 x^{2}

и укажите её свойства.

Подсказка: Используй симметрию: вычисли

y

только при

x \geq 0

, а левую ветвь отрази.

Составим таблицу значений, подставив $x \in {- 2, - 1, 0, 1, 2}$ .
$y (- 2) = 2 \cdot (- 2)^{2} = 2 \cdot 4 = 8$
$y (- 1) = 2 \cdot (- 1)^{2} = 2 \cdot 1 = 2$
$y (0) = 2 \cdot 0^{2} = 0$
$y (1) = 2 \cdot 1^{2} = 2 \cdot 1 = 2$
$y (2) = 2 \cdot 2^{2} = 2 \cdot 4 = 8$
Наносим точки $(- 2; 8)$ , $(- 1; 2)$ , $(0; 0)$ , $(1; 2)$ , $(2; 8)$ и соединяем плавной кривой.
Так как $a = 2 > 0$ , ветви параболы направлены вверх, вершина $(0; 0)$ , функция убывает при $x < 0$ и возрастает при $x > 0$ .

Ответ: Парабола с вершиной в начале координат, ветви направлены вверх;

y \geq 0

при всех

x

Пример 2

При каких значениях

x

функция

y = - 3 x^{2}

принимает значение

- 12

Составим уравнение: $- 3 x^{2} = - 12$ .
Делим обе части на $(- 3)$ : $x^{2} = \frac{- 12}{- 3} = 4$ .
Из уравнения $x^{2} = 4$ находим $x = \pm 4 = \pm 2$ .

Ответ:

x = 2

x = - 2

Пример 3

Расположите параболы

y = 5 x^{2}

y = \frac{1}{2} x^{2}

y = x^{2}

от самой узкой к самой широкой.

Подсказка: Сравнивай только модули коэффициентов — знак влияет на направление, а не на ширину.

Запишем коэффициенты $a$ : для первой $a_{1} = 5$ , для второй $a_{2} = \frac{1}{2}$ , для третьей $a_{3} = 1$ .
Чем больше $∣ a ∣$ , тем уже парабола. Сравниваем: $5 > 1 > \frac{1}{2}$ .
Следовательно, самая узкая — $y = 5 x^{2}$ , затем $y = x^{2}$ , самая широкая — $y = \frac{1}{2} x^{2}$ .

Ответ:

y = 5 x^{2}

(самая узкая),

y = x^{2}

y = \frac{1}{2} x^{2}

(самая широкая).

Пример 4

Докажите, что точка

A (3; - 27)

лежит на параболе

y = - 3 x^{2}

, а точка

B (2; 8)

— не лежит.

Проверим точку $A$ : подставим $x = 3$ в формулу $y = - 3 x^{2}$ .
$y = - 3 \cdot 3^{2} = - 3 \cdot 9 = - 27$ .
Получили $y = - 27$ , что совпадает с ординатой точки $A$ . Значит, $A (3; - 27)$ лежит на параболе.
Проверим точку $B$ : подставим $x = 2$ в формулу $y = - 3 x^{2}$ .
$y = - 3 \cdot 2^{2} = - 3 \cdot 4 = - 12$ .
Получили $y = - 12 \neq = 8$ , поэтому $B (2; 8)$ не лежит на параболе.

Ответ: Точка

A

лежит на параболе; точка

B

— не лежит.

Пифика в Telegram Подпишись, и ты первым узнаешь о новых темах, заданиях и статьях. Подписаться

Частые ошибки

Путают направление ветвей: при $a < 0$ ветви направлены вниз, а не вверх — не забывай проверять знак.
Считают, что больший $∣ a ∣$ даёт более широкую параболу — на самом деле наоборот: $∣ a ∣$ больше означает уже.
Вычисляют $(- x)^{2}$ как $- x^{2}$ : помни, что $(- 3)^{2} = 9$ , а не $- 9$ — возведение в квадрат убирает минус.
При построении соединяют точки прямыми отрезками — парабола является гладкой кривой, а не ломаной.