8 класс Алгебра 9 мин чтения

Сдвиги графика функции y = ax²

Ангелина Владимировна, создатель и методист Пифики

Коротко: Добавляя к функции y = ax² числа внутри или снаружи скобок, можно сдвигать её параболу вдоль осей координат, не меняя формы и направления ветвей.

Проверь себя · 1 из 3

Какой из графиков соответствует функции

y = (x - 2)^{2}

Парабола — одна из самых распространённых кривых: траектория мяча, форма зеркала телескопа, профиль моста. Понимание того, как её «двигать» по плоскости, позволяет составлять уравнения сразу по готовому графику — и наоборот.

y = a(x − m)² + n: вершина сдвигается в точку (m; n)

Содержание 9

Исходная парабола y = ax²

Напоминание. Функция $y = a x^{2}$ , где $a \neq = 0$ , задаёт параболу с вершиной в начале координат $O (0; 0)$ .

При $a > 0$ ветви направлены вверх.
При $a < 0$ ветви направлены вниз.
Чем больше $∣ a ∣$ , тем уже парабола.
Ось симметрии — ось $O y$ (уравнение $x = 0$ ).

Все дальнейшие сдвиги не меняют ни форму, ни направление ветвей — они лишь перемещают вершину в новую точку.

Вертикальный сдвиг: y = ax² + m

Правило. Функция

y = a x^{2} + m

— это парабола

y = a x^{2}

, сдвинутая вдоль оси $O y$ на

∣ m ∣

единиц.

Если $m > 0$ — сдвиг вверх на $m$ единиц.
Если $m < 0$ — сдвиг вниз на $∣ m ∣$ единиц.

Вершина переходит из точки $(0; 0)$ в точку $(0; m)$ .

Почему так? Значение $y = a x^{2}$ всегда неотрицательно (при $a > 0$ ), а значит минимум равен $0$ и достигается при $x = 0$ . Прибавив константу $m$ , мы смещаем все значения функции ровно на $m$ : минимум теперь равен $m$ , а достигается при том же $x = 0$ . Форма кривой не меняется.

Пример. $y = 2 x^{2} + 3$ : вершина — точка $(0; 3)$ , ось симметрии — $x = 0$ , ветви вверх.

Пример. $y = x^{2} - 5$ : вершина — точка $(0; - 5)$ , ветви вверх.

Горизонтальный сдвиг: y = a(x − n)²

Правило. Функция

y = a (x - n)^{2}

— это парабола

y = a x^{2}

, сдвинутая вдоль оси $O x$ на

∣ n ∣

единиц.

Если $n > 0$ — сдвиг вправо на $n$ единиц.
Если $n < 0$ — сдвиг влево на $∣ n ∣$ единиц.

Вершина переходит из $(0; 0)$ в точку $(n; 0)$ .

Ось симметрии — вертикальная прямая $x = n$ .

Почему знак «наоборот»? Выражение $(x - n)^{2}$ равно нулю при $x = n$ . Именно при $x = n$ функция принимает наименьшее значение (при $a > 0$ ), то есть вершина стоит над точкой $x = n$ . Поэтому $y = a (x - 3)^{2}$ сдвигает параболу вправо на 3, а $y = a (x + 3)^{2} = a (x - (- 3))^{2}$ — влево на 3.

Типичная ловушка: в формуле стоит «минус $n$ », но сдвиг — вправо. Не перепутай знак!

Пример. $y = (x - 4)^{2}$ : вершина $(4; 0)$ , ось $x = 4$ .

Пример. $y = - (x + 2)^{2}$ : вершина $(- 2; 0)$ , ветви вниз, ось $x = - 2$ .

Совместный сдвиг: y = a(x − n)² + m

Общий вид. Функция $y = a (x - n)^{2} + m$ описывает параболу, вершина которой находится в точке $(n; m)$ , а ось симметрии — прямая $x = n$ .

Здесь оба сдвига работают независимо и одновременно:

$n$ — горизонтальный сдвиг (вправо при $n > 0$ , влево при $n < 0$ );
$m$ — вертикальный сдвиг (вверх при $m > 0$ , вниз при $m < 0$ ).

Алгоритм чтения формулы:

Определи $a$ : направление ветвей и «ширину» параболы.
Найди $n$ из выражения $(x - n)$ : это абсцисса вершины.
Найди $m$ : это ордината вершины.
Запиши вершину $(n; m)$ и ось симметрии $x = n$ .

Пример. $y = 3 (x - 1)^{2} + 2$ : $a = 3 > 0$ (ветви вверх), вершина $(1; 2)$ , ось $x = 1$ .

Пример. $y = - \frac{1}{2} (x + 3)^{2} - 1$ : $a = - \frac{1}{2} < 0$ (ветви вниз), $n = - 3$ , $m = - 1$ , вершина $(- 3; - 1)$ , ось $x = - 3$ .

Как составить уравнение по вершине

Если известна вершина $(n; m)$ и коэффициент $a$ , уравнение параболы записывается сразу:

$y = a (x - n)^{2} + m .$

Алгоритм:

Подставь координаты вершины: вместо $n$ — абсциссу, вместо $m$ — ординату.
Если дополнительно известна ещё одна точка $(x_{0}; y_{0})$ , лежащая на параболе, подставь её в уравнение и найди $a$ .

Пример. Вершина $(2; - 3)$ , парабола проходит через точку $(4; 5)$ . Составляем:

$y = a (x - 2)^{2} - 3$ .

Подставляем $(4; 5)$ : $5 = a (4 - 2)^{2} - 3$ , откуда $5 = 4 a - 3$ , то есть $4 a = 8$ , и $a = 2$ .

Ответ: $y = 2 (x - 2)^{2} - 3$ .

Ключевые формулы

y = a x^{2} + m

Вертикальный сдвиг на m единиц (вверх при m > 0, вниз при m < 0)

y = a (x - n)^{2}

Горизонтальный сдвиг на n единиц (вправо при n > 0, влево при n < 0)

y = a (x - n)^{2} + m

Общий вид с обоими сдвигами — вершина в точке (n; m)

x = n

Ось симметрии параболы

y = a (x - n)^{2} + m

Запомни

Добавление m снаружи скобок — вертикальный сдвиг: вверх при m > 0, вниз при m < 0.
Замена x на (x − n) внутри скобок — горизонтальный сдвиг: вправо при n > 0, влево при n < 0. Знак «наоборот» — не перепутай!
Вершина параболы $y = a (x - n)^{2} + m$ всегда стоит в точке $(n; m)$ .
Сдвиги не меняют ни направление ветвей (определяется знаком a), ни форму (определяется |a|) — только положение вершины.
По формуле $y = a (x - n)^{2} + m$ уравнение можно читать прямо: сначала найди вершину, затем определи направление ветвей.

Разбор примеров

Попробуй решить сам, потом сверься с решением.

Пример 1

Найдите вершину и ось симметрии параболы y = 2x² − 4.

Функция имеет вид y = ax² + m, где a = 2, m = −4. Горизонтального сдвига нет, n = 0.
Вершина находится в точке (n; m) = (0; −4).
Ось симметрии: x = 0 (совпадает с осью Oy).

Ответ: Вершина (0; −4), ось симметрии x = 0.

Пример 2

Постройте параболу y = (x − 3)². Укажите вершину и ось симметрии.

Подсказка: Удобно строить точки, симметричные относительно оси x = n: они дают одинаковые значения y.

Функция имеет вид $y = a (x - n)^{2}$ , где $a = 1$ , $n = 3$ , $m = 0$ .
Вершина: (n; m) = (3; 0).
Ось симметрии: x = 3.
Ветви направлены вверх ( $a = 1 > 0$ ). Для построения вычислим несколько точек: при $x = 1$ значение $y = (1 - 3)^{2} = 4$ ; при $x = 5$ значение $y = (5 - 3)^{2} = 4$ ; при $x = 2$ значение $y = (2 - 3)^{2} = 1$ ; при $x = 4$ значение $y = (4 - 3)^{2} = 1$ . Точки симметричны относительно прямой $x = 3$ .

Ответ: Вершина (3; 0), ось симметрии x = 3, ветви вверх.

Пример 3

Запишите уравнение параболы, у которой вершина (−2; 5), ветви направлены вниз и она в два раза уже стандартной y = −x².

Ветви вниз и парабола вдвое уже, чем y = −x², значит a = −2.
Вершина (−2; 5), то есть n = −2, m = 5.
Подставляем в общую формулу: $y = a (x - n)^{2} + m = - 2 (x - (- 2))^{2} + 5$ .
Упрощаем: $y = - 2 (x + 2)^{2} + 5$ .

Ответ: y = −2(x + 2)² + 5.

Пример 4

Парабола y = a(x − 1)² + 3 проходит через точку (3; 11). Найдите a и запишите полное уравнение.

Подсказка: Если известна вершина и одна точка на параболе, подстановкой всегда можно найти a — уравнение будет содержать одно неизвестное.

Подставляем координаты точки $(3; 11)$ в уравнение: $11 = a (3 - 1)^{2} + 3$ .
Вычисляем: $11 = a \cdot 4 + 3$ , откуда $4 a = 8$ , то есть $a = 2$ .
Записываем уравнение: $y = 2 (x - 1)^{2} + 3$ .

Ответ: a = 2, уравнение y = 2(x − 1)² + 3.

Пифика в Telegram Подпишись, и ты первым узнаешь о новых темах, заданиях и статьях. Подписаться

Частые ошибки

Путают направление горизонтального сдвига: в формуле $y = a (x - 3)^{2}$ стоит «минус 3», но сдвиг вправо, а не влево. Помни: $(x - n)^{2}$ даёт ноль при $x = n$ , значит вершина в точке $x = n$ .
При записи уравнения по вершине забывают знак минус и пишут $y = a (x + n)^{2} + m$ вместо $y = a (x - n)^{2} + m$ . Всегда записывай через «минус».
Считают, что сдвиг меняет направление ветвей или «ширину» параболы. На самом деле за это отвечает только коэффициент a.
Определяя вершину у функции y = a(x + 2)² − 5, называют её (2; −5) вместо (−2; −5): путают знак при горизонтальном сдвиге.