Функция y = k/x и её график

Обратной пропорциональностью называют функцию вида $y=\frac{k}{x}$, где $x$ — независимая переменная, а $k\ne 0$ — постоянное число, которое называют коэффициентом обратной пропорциональности.

Главное свойство этой зависимости: произведение переменных постоянно. Умножим обе части равенства $y=\frac{k}{x}$ на $x$ и получим $x\cdot y=k$. Это значит, что для любой точки графика произведение её координат одно и то же и равно $k$.

Отсюда и название: если $x$ увеличить в несколько раз, то $y$ во столько же раз уменьшится — ведь их произведение должно остаться равным $k$. Например, для $y=\frac{12}{x}$: при $x=2$ имеем $y=6$, при $x=4$ имеем $y=3$ (увеличили $x$ вдвое — $y$ уменьшился вдвое), при $x=6$ имеем $y=2$.

Почему $k\ne 0$? При $k=0$ функция превратилась бы в $y=\frac{0}{x}=0$ — это уже не обратная пропорциональность, а постоянная функция, равная нулю.

Не путай обратную пропорциональность с прямой: при прямой пропорциональности $y=kx$ обе величины растут вместе, а при обратной — пока одна растёт, другая убывает.

Графиком функции $y=\frac{k}{x}$ является гипербола. Она состоит из двух отдельных ветвей — плавных кривых, которые не соединяются между собой.

Расположение ветвей зависит от знака $k$:

• Если $k>0$, то $x$ и $y$ имеют одинаковые знаки (их произведение положительно), поэтому ветви лежат в I и III координатных четвертях.
• Если $k<0$, то $x$ и $y$ имеют разные знаки (их произведение отрицательно), поэтому ветви лежат во II и IV четвертях.

Гипербола симметрична относительно начала координат: если точка $(x_0;y_0)$ лежит на графике, то и точка $(-x_0;-y_0)$ тоже на нём лежит. Поэтому достаточно построить одну ветвь, а вторую получить отражением через начало координат.

Очень важная особенность: гипербола никогда не пересекает координатные оси и не касается их. При больших $|x|$ ветвь бесконечно приближается к оси $Ox$, а при $x$, близких к нулю, — к оси $Oy$. Прямые, к которым график неограниченно приближается, но никогда их не достигает, называют асимптотами. У гиперболы $y=\frac{k}{x}$ асимптотами служат сами координатные оси: ось $Ox$ (прямая $y=0$) и ось $Oy$ (прямая $x=0$).

1. Область определения. На нуль делить нельзя, поэтому из области определения исключён нуль: $x\ne 0$, то есть $x\in (-\infty ;0)\cup (0;+\infty )$.

2. Область значений. Функция принимает любые значения, кроме нуля: $y\ne 0$. Дробь $\frac{k}{x}$ при $k\ne 0$ не может равняться нулю ни при каком $x$.

3. Симметрия. Функция нечётная: $f(-x)=\frac{k}{-x}=-\frac{k}{x}=-f(x)$. Поэтому её график симметричен относительно начала координат.

4. Асимптоты. Оси координат $Ox$ и $Oy$ — асимптоты гиперболы: график неограниченно к ним приближается, но не пересекает.

5. Монотонность. На каждой ветви по отдельности функция ведёт себя так:

• при $k>0$ функция убывает на каждом из промежутков $(-\infty ;0)$ и $(0;+\infty )$;
• при $k<0$ функция возрастает на каждом из этих промежутков.

Обрати внимание: нельзя говорить, что функция убывает (или возрастает) на всей области определения, — только на каждом промежутке отдельно, потому что в нуле есть разрыв.

6. Точек пересечения с осями нет. Поскольку $x\ne 0$ и $y\ne 0$, гипербола не имеет общих точек ни с осью $Ox$, ни с осью $Oy$.

Как найти коэффициент $k$ по точке графика. Если известно, что гипербола проходит через точку $(x_0;y_0)$, то достаточно перемножить её координаты: $k=x_0\cdot y_0$.

Например, если гипербола проходит через точку $(2;3)$, то $k=2\cdot 3=6$, и функция задаётся формулой $y=\frac{6}{x}$.

Как проверить, принадлежит ли точка графику. Подставь координату $x$ точки в формулу и вычисли $y$. Если получилось значение, совпадающее с ординатой точки, — точка принадлежит графику; если нет — не принадлежит. Можно и проще: проверить, равно ли произведение координат точки коэффициенту $k$.

Как построить график по таблице.

1. Берут несколько значений $x$ — и положительных, и отрицательных, но не нуль. Удобно брать делители числа $k$, чтобы значения $y$ получались целыми.
2. Для каждого $x$ вычисляют $y=\frac{k}{x}$.
3. Отмечают полученные точки на координатной плоскости.
4. Соединяют точки одной четверти плавной кривой, а точки другой четверти — второй плавной кривой. Две ветви не соединяют между собой.

Пример таблицы для $y=\frac{6}{x}$ (для $k>0$):

• при $x=1$ получаем $y=6$;
• при $x=2$ получаем $y=3$;
• при $x=3$ получаем $y=2$;
• при $x=6$ получаем $y=1$;
• при $x=-1$ получаем $y=-6$;
• при $x=-2$ получаем $y=-3$;
• при $x=-3$ получаем $y=-2$.

Положительные $x$ дают первую ветвь (в I четверти), отрицательные — вторую (в III четверти).

Обратная пропорциональность описывает множество реальных зависимостей, в которых произведение двух величин остаётся постоянным.

Скорость и время. При постоянном расстоянии $s$ время в пути обратно пропорционально скорости: $t=\frac{s}{v}$. Чем быстрее едешь — тем меньше времени тратишь. Здесь роль $k$ играет расстояние $s$.

Производительность и время работы. Если объём работы фиксирован, то время её выполнения обратно пропорционально числу рабочих (или производительности): $t=\frac{A}{n}$. Вдвое больше рабочих — вдвое меньше времени.

Давление и объём газа. При неизменной температуре давление газа обратно пропорционально его объёму: $p=\frac{k}{V}$ (закон Бойля—Мариотта). Сжали газ вдвое — давление выросло вдвое.

Сила и плечо рычага. Чтобы уравновесить рычаг, сила обратно пропорциональна длине плеча: чем длиннее плечо, тем меньшая сила нужна.

Во всех этих случаях график зависимости — ветвь гиперболы (обычно рассматривают только часть в I четверти, потому что физические величины положительны).