Уравнения, сводящиеся к квадратным, 8 класс: задания

0 из 10

Уравнения, сводящиеся к квадратным

…

Примеры заданий с ответами

1Реши уравнение

x = 5

2В уравнении

x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0

сделали замену

t = x^{2}

. Найди больший из корней уравнения относительно

t

После замены $t = x^{2}$ уравнение становится квадратным: $t^{2} - 5 t + 4 = 0$ .
По теореме Виета корни $t_{1} = 1$ и $t_{2} = 4$ (их сумма $5$ , произведение $4$ ).
Больший из корней равен $4$ .
Ответ: $4$ .

3Сколько корней имеет уравнение

x^{4} + 3 x^{2} - 4 = 0

? Запиши число.

Замена $t = x^{2} \geq 0$ : $t^{2} + 3 t - 4 = 0$ , корни $t_{1} = 1$ , $t_{2} = - 4$ .
Отрицательный $t = - 4$ корней по $x$ не даёт, а $t = 1$ даёт два корня $x = \pm 1$ .
Итого ровно $2$ корня.
Ответ: $2$ .

4Реши уравнение

x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0

через разложение

(x^{2} - 1) (x^{2} - 4) = 0

(запиши наибольший корень).

5Найди наибольший корень уравнения

4 x^{4} - 17 x^{2} + 4 = 0

Замена $t = x^{2}$ ( $t \geq 0$ ): $4 t^{2} - 17 t + 4 = 0$ , дискриминант $D = 289 - 64 = 225$ , $D = 15$ .
Корни $t = \frac{17 \pm 15}{8}$ , то есть $t = 4$ или $t = \frac{1}{4}$ .
Тогда $x^{2} = 4 \Rightarrow x = \pm 2$ ; $x^{2} = \frac{1}{4} \Rightarrow x = \pm \frac{1}{2}$ ; наибольший корень $2$ .
Ответ: $2$ .

6Реши уравнение

x + x + 1 = 11

(запиши корень).

Уединяем радикал: $x + 1 = 11 - x$ (при условии $11 - x \geq 0$ и $x \geq - 1$ ).
Возводим в квадрат: $x + 1 = 121 - 22 x + x^{2}$ , то есть $x^{2} - 23 x + 120 = 0$ .
Корни $x = 8$ и $x = 15$ . Проверка: $x = 15$ не годится ( $11 - 15 < 0$ ), а $x = 8$ даёт $8 + 9 = 8 + 3 = 11$ — верно.
Ответ: $x = 8$ .