Признаки равенства треугольников (первый и второй)

При таком наложении совпадают соответственные вершины, стороны и углы. Чтобы указать, какие вершины соответствуют друг другу, треугольники записывают в нужном порядке: если $△ABC=△DEF$, то

• $AB=DE$, $BC=EF$, $AC=DF$ — соответственные стороны;
• $\angle A=\angle D$, $\angle B=\angle E$, $\angle C=\angle F$ — соответственные углы.

У треугольника шесть элементов: три стороны и три угла. Доказывать равенство всех шести — трудоёмко. Признаки равенства позволяют ограничиться тремя.

Кратко: сторона — угол — сторона (СУС).

Что нужно проверить:

• $AB=A_1{B}_1$ (первая пара сторон),
• $\angle B=\angle B_1$ (угол между этими сторонами),
• $BC=B_1{C}_1$ (вторая пара сторон).

Тогда $△ABC=△A_1{B}_1{C}_1$.

Почему это работает? Отложим отрезок $A_1{B}_1=AB$. Из точки $B_1$ отложим угол $\angle B_1=\angle B$, а по его стороне — отрезок $B_1{C}_1=BC$. Точки $A_1$ и $C_1$ теперь зафиксированы однозначно. Соединим $A_1{C}_1$ — получим треугольник. Если наложить $△ABC$ на этот треугольник, совместив $B$ с $B_1$, обе заданные стороны совпадут, а значит, совпадут и $A$, и $C$. Третья сторона $A_1{C}_1=AC$ как единственный отрезок, соединяющий $A_1$ и $C_1$.

Этот признак применяют, когда в условии или на рисунке указаны две стороны и угол между ними.

В 7 классе второй признак формулируют так.

Кратко: угол — сторона — угол (УСУ).

Что нужно проверить:

• $\angle B=\angle B_1$ (первый угол),
• $BC=B_1{C}_1$ (сторона между этими углами),
• $\angle C=\angle C_1$ (второй угол).

Тогда $△ABC=△A_1{B}_1{C}_1$.

Почему это работает? Отложим $B_1{C}_1=BC$. Из точки $B_1$ проведём луч, образующий угол $\angle B_1=\angle B$ со стороной $B_1{C}_1$; из точки $C_1$ — луч с углом $\angle C_1=\angle C$. Два непараллельных луча пересекутся в единственной точке $A_1$. Наложение $B\to B_1$, $C\to C_1$ совместит оба луча, а значит, и точку $A$ с $A_1$.

Этот признак применяют, когда известна сторона и два угла при ней (или один угол при стороне и ещё один угол треугольника — ведь третий угол находится из суммы углов треугольника $180^{\circ }$).

Различие двух признаков удобно запомнить по аббревиатурам:

Алгоритм доказательства равенства треугольников:

1. Выписать, какие элементы равны по условию (или следуют из свойств фигуры: вертикальные углы, общая сторона, биссектриса и т.д.).
2. Определить, какой признак подходит: собрать три нужных элемента (СУС или УСУ).
3. Сформулировать вывод: «По первому (второму) признаку равенства треугольников $△ABC=△DEF$.»
4. Из равенства треугольников вывести нужные равенства сторон или углов.

Типичные источники «бесплатных» равенств:

• Общая сторона у двух треугольников — равна сама себе.
• Вертикальные углы при пересечении двух прямых — равны.
• Углы при основании равнобедренного треугольника — равны.
• Биссектриса делит угол на два равных угла.
• Середина отрезка делит его на два равных отрезка.