Умножение натуральных чисел

Умножение — это сложение одинаковых чисел, только быстрое.

Смотри: у тебя 3 пакетика, в каждом по 4 конфеты. Сколько всего? Можно сложить: $4+4+4=12$. А можно умножить: $4\cdot 3=12$. Это одно и то же!

Числа, которые умножают, называются множителями. Результат — произведением. В примере $4\cdot 3=12$: числа $4$ и $3$ — множители, $12$ — произведение.

Как записывают умножение. Знак умножения — точка $\cdot$ или крестик $\times$. А рядом с буквами и скобками его вообще не пишут: $ab$ — это то же самое, что $a\cdot b$, а $3(a+b)$ — то же, что $3\cdot (a+b)$.

Два особых случая (легко запомнить):

• $a\cdot 1=a$ — умножил на 1, ничего не изменилось. Одна пачка по 35 рублей стоит 35 рублей.
• $a\cdot 0=0$ — умножил на 0, получил 0. Ноль пачек — ноль рублей, как ни крути.

У умножения есть три свойства. Звучит скучно, но на деле это читы для быстрого счёта.

1. Переместительное свойство: множители можно менять местами. $a\cdot b=b\cdot a$ 3 ряда по 5 стульев — это столько же стульев, сколько 5 рядов по 3. Поэтому $4\cdot 7=7\cdot 4=28$. Бонус: таблицу умножения можно учить наполовину — вторая половина получается бесплатно!

2. Сочетательное свойство: группируй как удобно. $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ Если множителей несколько, перемножай их в любом порядке. Например, $2\cdot 9\cdot 5$: удобно сначала взять $2\cdot 5=10$, а потом $10\cdot 9=90$. Считать с круглыми числами — одно удовольствие.

3. Распределительное свойство: множитель можно «раздать». $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ Множитель снаружи скобок достаётся каждому слагаемому внутри — как будто ты раздаёшь конфеты каждому другу. Это главный секрет устного счёта: $6\cdot 14=6\cdot (10+4)=60+24=84$. С разностью работает так же: $a\cdot (b-c)=a\cdot b-a\cdot c$.

Почему это вообще работает? Представь прямоугольник из клеточек со сторонами $a$ и $b$. Поверни его на бок — клеток столько же (вот и переместительное свойство). Разрежь его на две части — клеток в сумме столько же (вот и распределительное).

Таблица умножения заканчивается на $9\cdot 9$. А как посчитать $347\cdot 23$? Для этого есть умножение в столбик — и работает оно как раз благодаря распределительному свойству.

Шаг 1. Запиши числа одно под другим, выровняв по правому краю.

Шаг 2. Умножь первое число на каждую цифру второго, начиная с единиц. Каждый следующий результат сдвигай на одну клетку влево.

Шаг 3. Сложи всё, что получилось.

Разберём $347\cdot 23$ по шагам.
Число $23$ — это $20+3$. Поэтому умножаем по частям: $347\cdot 3=1041$ $347\cdot 20=6940$ Теперь складываем: $1041+6940=7981$ Вот и весь секрет: $347\cdot 23=347\cdot (20+3)=6940+1041=7981$. Сдвиг влево в столбике нужен именно потому, что вторая строчка — это умножение на десятки, а не на единицы.

Лайфхак с нулями. Умножаешь на 10, 100 или 1000? Просто припиши справа столько нулей, сколько их в этом числе: $47\cdot 100=4700$. Готово!

В примерах без скобок умножение (и деление) всегда выполняют раньше сложения и вычитания. Умножение — VIP-гость, оно проходит без очереди.

Пример: $3+4\cdot 2=3+8=11$. Сначала $4\cdot 2$, потом прибавляем $3$. Кто посчитал $14$ — попался в классическую ловушку!

Но есть способ изменить порядок — скобки. Всё, что в скобках, считают первым: $(3+4)\cdot 2=7\cdot 2=14$.

Если подряд идут несколько умножений и делений, считай их слева направо: $20÷4\cdot 3=5\cdot 3=15$.

Зачем нужно это правило? Чтобы все на свете получали одинаковый ответ. Если бы каждый считал в своём порядке, один и тот же пример давал бы разные результаты — и кассы в магазинах, и калькуляторы, и игры считали бы кто во что горазд.