5 класс Математика 8 мин чтения

Порядок выполнения действий

Ангелина Владимировна, создатель и методист Пифики

Коротко: Порядок действий — это правила, которые говорят, что считать первым, а что потом. Благодаря им у любого примера есть только один правильный ответ.

Проверь себя · 1 из 3

Какое действие выполняется ПЕРВЫМ:

68 - 8 \cdot 8 + 4

Представь: вы с другом решаете один и тот же пример $2 + 3 \cdot 4$ . Ты получаешь $14$ , а друг — $20$ . Кто прав? Прав ты! Потому что в математике есть чёткие правила: что считать первым, а что — потом. Они работают везде: в тетради, в телефоне, в любом компьютере мира. Давай разберёмся, как они устроены.

Содержание 9

Что такое математическое выражение

Выражение — это просто запись из чисел, знаков действий и скобок. Например, $2 + 3 \cdot 4$ — выражение. И $(2 + 3) \cdot 4$ — тоже выражение, но уже другое! Символы похожи, а ответы разные.

Когда ты выполняешь все действия в правильном порядке, получается число — оно называется значением выражения. Чтобы у всех ребят (и у всех калькуляторов!) получалось одно и то же число, математики договорились о единых правилах — порядке выполнения действий.

Действия первой и второй ступени

Все четыре действия делятся на две команды по «силе».

Первая ступень — сложение и вычитание. Они «слабее» и ждут своей очереди: выполняются последними (если нет скобок).
Вторая ступень — умножение и деление. Они «сильнее» и идут первыми.

Представь это так: умножение и деление крепко «склеивают» свои числа, поэтому их считают раньше. А уже потом результаты соединяют плюсами и минусами.

Пример: $8 + 6 \div 2$ . Сначала деление: $6 \div 2 = 3$ Потом сложение: $8 + 3 = 11$ Если бы мы тупо шли слева направо, вышло бы $8 + 6 = 14$ , потом $14 \div 2 = 7$ — а это ошибка!

Скобки — самые главные

Скобки — это VIP-пропуск без очереди. Всё, что в скобках, считается первым — неважно, какое там действие. Если скобки сидят одна внутри другой (как матрёшки), начинай с самой внутренней.

Пример: $3 \cdot (4 + 2)$ . Сначала скобка: $4 + 2 = 6$ Потом умножение: $3 \cdot 6 = 18$ А без скобок было бы $3 \cdot 4 + 2 = 14$ — совсем другой ответ!

Логика простая: раз кто-то поставил скобки — значит, он специально попросил сделать это действие первым. И математика это уважает.

Полное правило: что за чем

Запомни порядок — он как очередь в столовой:

1. Скобки (начиная с самых внутренних).
2. Умножение и деление — слева направо, в порядке записи.
3. Сложение и вычитание — тоже слева направо.

Про «слева направо» — это важно! Если подряд идут несколько умножений и делений, считай их по очереди, как читаешь книгу. Например, $24 \div 6 \cdot 2$ : $24 \div 6 = 4$ $4 \cdot 2 = 8$ А если бы пошли справа налево: $6 \cdot 2 = 12$ , потом $24 \div 12 = 2$ — ответ другой и неправильный.

Когда скобок много

Бывает, в примере несколько пар скобок рядом. Тогда каждую считай отдельно, а потом соединяй результаты. А если скобки вложены друг в друга (как матрёшки) — начинай с самой маленькой, внутренней, и двигайся наружу.

Пример: $2 \cdot (3 + (8 - 5))$ .

Шаг 1 — внутренняя скобка: $8 - 5 = 3$ Шаг 2 — внешняя скобка: $3 + 3 = 6$ Шаг 3 — умножение: $2 \cdot 6 = 12$

Совет: переписывай выражение после каждого шага. Да, чуть дольше, зато ошибок почти не будет, и себя легко проверить.

Ключевые формулы

a + b \cdot c = a + (b \cdot c)

a + b \cdot c = a + (b \cdot c)

: умножение считается раньше сложения — как будто вокруг него невидимые скобки. Здесь

a

b

c

— любые числа

(a + b) \cdot c \neq = a + b \cdot c

(a + b) \cdot c \neq = a + b \cdot c

: скобки меняют ответ! Здесь

a

b

c

— числа; если

a \neq = 0

c \neq = 1

, результаты слева и справа разные

Запомни

Скобки — главнее всех: считай их первыми, начиная с самых внутренних.
Умножение и деление выполняй раньше сложения и вычитания.
Несколько умножений и делений подряд (или сложений и вычитаний) — считай строго слева направо, как читаешь.
Скобки меняют ответ! Поставил или убрал скобку — получил другое число.
Перед тем как считать длинный пример, пробегись по нему глазами и наметь порядок действий — так почти не будет ошибок.

Разбор примеров

Попробуй решить сам, потом сверься с решением.

Пример 1

Вычисли:

15 - 2 \cdot 4 + 3

Намечаем план: сначала умножение, потом вычитание и сложение слева направо.
Умножение: $2 \cdot 4 = 8$ . Это как прямоугольник из клеточек: 2 ряда по 4 клетки.
Теперь слева направо: $15 - 8 = 7$ , затем $7 + 3 = 10$ .

Ответ: 10

Пример 2

Вычисли:

(36 - 6) \div 5 + 4 \cdot 3

Подсказка: Здесь два отдельных «блока»:

30 \div 5

4 \cdot 3

. Они не связаны между собой, поэтому порядок между ними не важен — но удобнее идти слева направо.

Скобка идёт первой: $36 - 6 = 30$ .
Переписываем пример: $30 \div 5 + 4 \cdot 3$ .
Действия второй ступени слева направо: $30 \div 5 = 6$ , затем $4 \cdot 3 = 12$ .
Осталось сложить: $6 + 12 = 18$ .

Ответ: 18

Пример 3

Вычисли:

100 - 4 \cdot (3 + 12 \div 4)

Начинаем со скобки. Но внутри неё свои правила: сначала деление $12 \div 4 = 3$ .
Доделываем скобку: $3 + 3 = 6$ .
Переписываем: $100 - 4 \cdot 6$ .
Умножение: $4 \cdot 6 = 24$ .
Вычитание: $100 - 24 = 76$ .

Ответ: 76

Пример 4

Вычисли:

5 \cdot (2 + 3) - (40 \div (3 + 5) + 1) \cdot 2

Подсказка: Несколько скобок на одном уровне? Считай каждую отдельно, подставляй результаты и упрощай дальше шаг за шагом.

Ищем самые внутренние скобки-«матрёшки»: это $(3 + 5)$ и $(2 + 3)$ .
Считаем их: $3 + 5 = 8$ и $2 + 3 = 5$ .
Переписываем: $5 \cdot 5 - (40 \div 8 + 1) \cdot 2$ .
Оставшаяся скобка: внутри сначала деление $40 \div 8 = 5$ , потом $5 + 1 = 6$ .
Переписываем: $5 \cdot 5 - 6 \cdot 2$ .
Умножения: $5 \cdot 5 = 25$ и $6 \cdot 2 = 12$ .
Финал: $25 - 12 = 13$ .

Ответ: 13

Пифика в Telegram Подпишись, и ты первым узнаешь о новых темах, заданиях и статьях. Подписаться

Частые ошибки

Считать всё подряд слева направо, забыв про умножение: в примере $5 + 3 \cdot 2$ получают $(5 + 3) \cdot 2 = 16$ вместо правильного $5 + 6 = 11$ .
Забыть про «слева направо»: в примере $20 \div 4 \cdot 5$ сначала умножают $4 \cdot 5 = 20$ и получают $20 \div 20 = 1$ . А правильно: $(20 \div 4) \cdot 5 = 25$ .
Терять минус перед скобкой: $10 - (3 + 2)$ считают как $10 - 3 + 2 = 9$ вместо $10 - 5 = 5$ . Минус перед скобкой относится ко ВСЕЙ сумме внутри!
Считать длинный пример «в уме» целиком — так легко запутаться. Записывай каждый шаг отдельной строчкой.