5 класс Математика 10 мин чтения

Степень числа. Квадрат и куб числа

Ангелина Владимировна, создатель и методист Пифики

Коротко: Степень — это короткая запись умножения числа самого на себя. Квадрат (²) и куб (³) — самые важные степени: они помогают считать площадь и объём.

Проверь себя · 1 из 3

Запиши произведение

3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3

в виде степени.

Представь: тебе нужно записать $5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$ . Рука устанет, и легко сбиться, сколько пятёрок ты уже написал! Математики — народ ленивый в хорошем смысле: они придумали короткую запись — степень. Вместо шести пятёрок пишем $5^{6}$ — и всё понятно. В этой теме ты узнаешь, как это работает, и почему степени прячутся в площади квадрата и объёме куба.

Содержание 9

Что такое степень числа

Допустим, в игре твой герой каждый уровень удваивает силу. Было $5$ , потом $5 \cdot 5$ , потом $5 \cdot 5 \cdot 5$ ... Записывать длинно. Поэтому пишут коротко: $5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^{4}$ Читается: «пять в четвёртой степени».

Определение. Степень числа

a

с натуральным показателем

n

(натуральные — это числа для счёта: 1, 2, 3...) при

n \geq 2

— это произведение

n

одинаковых множителей, каждый из которых равен

a

a^{n} = n a \cdot a \cdot \dots \cdot a

Тут две буквы, запомни обе:

$a$ — основание степени. Это число, которое умножаем.
$n$ — показатель степени. Он показывает, СКОЛЬКО раз основание стоит в произведении.

Почему показатель не меньше 2? Потому что $a^{1}$ — это просто само число $a$ , умножать ещё не на что. В 5 классе работаем с $n \geq 2$ .

Самая частая ловушка: степень — это НЕ умножение основания на показатель! $3^{4} = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$ А вовсе не $3 \cdot 4 = 12$ . Показатель говорит, сколько троек перемножить, а не на что умножать.

Квадрат числа

Определение. Квадрат числа

a

— это вторая степень:

a^{2} = a \cdot a

Почему «квадрат»? Возьми шоколадку-квадрат со стороной 6 долек. Сколько в ней долек всего? $6 \cdot 6 = 36$ . Площадь квадрата со стороной $a$ — это как раз $a^{2}$ . Например, квадрат со стороной 6 см имеет площадь $6^{2} = 36$ см $^{2}$ . Отсюда и название!

Квадраты чисел от 1 до 10 стоит выучить наизусть — они будут попадаться тебе постоянно, как таблица умножения: $1^{2} = 1, 2^{2} = 4, 3^{2} = 9, 4^{2} = 16, 5^{2} = 25,$ $6^{2} = 36, 7^{2} = 49, 8^{2} = 64, 9^{2} = 81, 1 0^{2} = 100.$

Два особых случая: $0^{2} = 0$ и $1^{2} = 1$ — эти числа от возведения в квадрат не меняются. А любое натуральное число больше 1 от квадрата только растёт: $a^{2} > a$ при $a > 1$ .

Дроби возводятся в квадрат точно так же: $(\frac{3}{4})^{2} = \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{16}$

Куб числа

Определение. Куб числа

a

— это третья степень:

a^{3} = a \cdot a \cdot a

И снова название из геометрии. Собери из маленьких кубиков (как в «Майнкрафте») большой куб со стороной 3 кубика. Сколько кубиков уйдёт? Один слой — $3 \cdot 3 = 9$ кубиков, а слоёв три: $9 \cdot 3 = 27$ . Объём куба с ребром $a$ равен $a^{3}$ . Например, куб с ребром 3 дм имеет объём $3^{3} = 27$ дм $^{3}$ .

Полезные кубы (первые пять точно стоит запомнить): $1^{3} = 1, 2^{3} = 8, 3^{3} = 27, 4^{3} = 64, 5^{3} = 125,$ $6^{3} = 216, 7^{3} = 343, 8^{3} = 512, 9^{3} = 729, 1 0^{3} = 1000.$

Сравни квадрат и куб одного числа: при $a > 1$ куб обгоняет квадрат, и чем дальше — тем сильнее. Смотри: $2^{2} = 4$ , а $2^{3} = 8$ . Уже у десятки разрыв огромный: $1 0^{2} = 100$ , а $1 0^{3} = 1000$ !

Порядок действий при вычислениях со степенями

У степени высокий «ранг»: её считают раньше умножения, деления, сложения и вычитания. Выше степени только скобки.

Правило (запомни очередь):

Сначала — скобки.
Потом — степень.
Потом — умножение и деление (слева направо).
В самом конце — сложение и вычитание.

Пример 1. Считаем $2 + 3^{2} \cdot 4$ . $3^{2} = 9, 9 \cdot 4 = 36, 2 + 36 = 38$

Пример 2. Считаем $(2 + 3)^{2} \cdot 4$ . Скобки идут первыми! $2 + 3 = 5, 5^{2} = 25, 25 \cdot 4 = 100$

Одни и те же числа — а ответы разные: 38 и 100. Скобки решают всё!

Осторожно: $(2 + 3)^{2} \neq = 2^{2} + 3^{2}$ . Возводить в степень каждое слагаемое по отдельности нельзя. Проверь сам: слева $5^{2} = 25$ , справа $4 + 9 = 13$ . Совсем не одно и то же!

Степени в задачах на площадь и объём

Квадрат и куб — не просто красивые названия, они работают в реальных задачах.

Площадь квадрата со стороной $a$ : $S = a^{2}$ Здесь $S$ — площадь. Если сторона в сантиметрах, ответ — в квадратных сантиметрах (см $^{2}$ ).

Объём куба с ребром $a$ : $V = a^{3}$ Здесь $V$ — объём. Если ребро в дециметрах, ответ — в кубических дециметрах (дм $^{3}$ ).

Степень прячется даже в единицах измерения! Смотри: $1 м^{2} = 10000 см^{2}, потому что 10 0^{2} = 10000$ $1 м^{3} = 1000000 см^{3}, потому что 10 0^{3} = 1000000$ В метре 100 сантиметров, поэтому в квадратном метре — $100 \cdot 100$ квадратных сантиметров. Это не магия, а прямое следствие определения степени.

Ключевые формулы

a^{n} = n множителей a \cdot a \cdot \dots \cdot a

Степень числа — короткая запись повторного умножения.

a

— основание (число, которое умножаем),

n

— показатель (сколько множителей перемножаем)

a^{2} = a \cdot a

Квадрат числа:

a

— число (например, сторона квадрата),

a^{2}

— его квадрат (площадь квадрата со стороной

a

)

a^{3} = a \cdot a \cdot a

Куб числа:

a

— число (например, ребро куба),

a^{3}

— его куб (объём куба с ребром

a

)

Запомни

Степень — это короткая запись произведения одинаковых множителей: основание умножается само на себя столько раз, сколько говорит показатель.
Квадрат числа — вторая степень ( $a^{2}$ ), куб — третья ( $a^{3}$ ). Названия идут от площади квадрата и объёма куба.
Степень считают раньше умножения, деления, сложения и вычитания — сразу после скобок.
Квадраты чисел от 1 до 10 и кубы от 1 до 5 выучи наизусть — они встречаются в задачах постоянно.
Ответ про площадь записывай в квадратных единицах (см², м²), про объём — в кубических (см³, дм³). Единицы терять нельзя!

Разбор примеров

Попробуй решить сам, потом сверься с решением.

Пример 1

Вычисли

4^{3}

Подсказка: Куб — это три одинаковых множителя. Ни в коем случае не

4 \cdot 3

По определению куба: $4^{3} = 4 \cdot 4 \cdot 4$ — три четвёрки, не две и не четыре!
Считаем по шагам: сначала $4 \cdot 4 = 16$ (на картинке это квадрат 4 на 4 клетки).
Потом $16 \cdot 4 = 64$ — как будто таких квадратов-слоёв четыре.
Итого $4^{3} = 64$ .

Ответ: 64

Пример 2

Найди площадь квадрата со стороной 12 см.

Подсказка: Не теряй единицу! Сторона в сантиметрах — площадь в КВАДРАТНЫХ сантиметрах.

Площадь квадрата считают по формуле $S = a^{2}$ , где $S$ — площадь, а $a$ — сторона.
Подставляем: $S = 1 2^{2} = 12 \cdot 12 = 144$ .
Сторона была в сантиметрах — значит, площадь в квадратных сантиметрах: $S = 144$ см $^{2}$ .

Ответ: 144 см²

Пример 3

Вычисли значение выражения

5^{2} + 2 \cdot 3^{3}

Вспоминаем очередь: сначала степени, потом умножение, в конце сложение.
Степени: $5^{2} = 25$ и $3^{3} = 27$ .
Умножение: $2 \cdot 27 = 54$ .
Сложение: $25 + 54 = 79$ .

Ответ: 79

Пример 4

Ребро куба равно 4 дм. Найди объём куба и переведи ответ в литры, зная, что 1 дм³ = 1 л.

Объём куба считают по формуле $V = a^{3}$ , где $V$ — объём, а $a$ — ребро. У нас $a = 4$ дм.
Подставляем: $V = 4^{3} = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$ , то есть $V = 64$ дм $^{3}$ .
Так как $1$ дм $^{3} = 1$ л, получаем $V = 64$ л. Это примерно 6 полных вёдер воды!

Ответ: 64 дм³ = 64 л

Пифика в Telegram Подпишись, и ты первым узнаешь о новых темах, заданиях и статьях. Подписаться

Частые ошибки

Путают степень с умножением: пишут $3^{4} = 3 \cdot 4 = 12$ . На самом деле $3^{4} = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$ . Показатель — это сколько множителей, а не второй множитель.
Нарушают порядок действий: в $2 + 3^{2}$ сначала складывают и получают $5^{2} = 25$ . Правильно: сначала степень $3^{2} = 9$ , потом $2 + 9 = 11$ .
Возводят в степень сумму по слагаемым: пишут $(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2}$ — это неверно. Проверка: $(3 + 4)^{2} = 7^{2} = 49$ , а $3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25$ . И $49 \neq = 25$ !
Забывают единицы измерения: пишут площадь в см вместо см², объём в дм вместо дм³.