Умножение и деление обыкновенных дробей

Представь: ты съедаешь по $\frac{2}{7}$ шоколадки в день. Сколько съешь за 3 дня? Надо сложить три раза одно и то же: $\frac{2}{7}\cdot 3=\frac{2}{7}+\frac{2}{7}+\frac{2}{7}=\frac{6}{7}$ То есть умножить дробь на число — это взять её несколько раз. Точно так же $4\cdot 3$ — это $4+4+4$.

Хитрость. Если число и знаменатель можно сократить — сокращай до умножения, тогда числа будут маленькими и считать легче. Сравни: $\frac{4}{9}\cdot 3=\frac{12}{9}=\frac{4}{3}$ — пришлось возиться с 12 и 9. А можно сразу сократить 3 и 9 на 3 — и мгновенно получить $\frac{4}{3}$.

Почему так? Возьмём пиццу. $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}$ — это треть от половины пиццы. Отрезали половину, потом эту половину разделили ещё на 3 части и взяли одну. От целой пиццы остался кусочек в $\frac{1}{6}$: $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{6}$ Знаменатели перемножились, потому что пиццу резали два раза подряд. А числители показывают, сколько кусочков ты в итоге берёшь.

Суперприём: сокращай заранее. Можно сокращать числитель одной дроби со знаменателем другой — «крест-накрест» — ещё до умножения. Это честно: мы делим верх и низ будущего ответа на одно и то же число, а от этого дробь не меняется. Смотри: в $\frac{5}{6}\cdot \frac{3}{10}$ сократим 5 и 10 на 5, а 3 и 6 на 3 — останется $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$. Никаких больших чисел!

А если число смешанное? Смешанное число (целое плюс дробь, например $2\frac{1}{4}$) перед умножением всегда превращай в неправильную дробь: $a\frac{b}{c}=\frac{a\cdot c+b}{c}$. А обычное натуральное число можно записать дробью со знаменателем 1: $n=\frac{n}{1}$.

Перед делением выучим один фокус.

Возьми дробь и переверни её вверх ногами: была $\frac{3}{7}$ — стала $\frac{7}{3}$. А теперь перемножь их: $\frac{3}{7}\cdot \frac{7}{3}=\frac{21}{21}=1$ Получилась единица! Так будет с любой дробью.

Чтобы найти число, обратное дроби $\frac{a}{b}$, просто поменяй числитель и знаменатель местами — получится $\frac{b}{a}$.

Примеры:

• обратное к $\frac{3}{7}$ — это $\frac{7}{3}$;
• обратное к $5=\frac{5}{1}$ — это $\frac{1}{5}$;
• для смешанного числа сначала сделай неправильную дробь: $2\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$, значит обратное — $\frac{4}{9}$.

Что вообще значит «разделить»? Запись $a÷b$ спрашивает: «на что умножить $b$, чтобы получить $a$?». Деление — это умножение наоборот. И вот тут пригождается наш фокус с переворотом!

Почему это работает? Запишем деление «многоэтажной» дробью $\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}$ и умножим её верх и низ на $\frac{d}{c}$ — перевёрнутый делитель. Внизу получится 1 (взаимно обратные числа!), а наверху останется $\frac{a}{b}\cdot \frac{d}{c}$. Вот и всё объяснение.

Пошаговый план деления:

1. Смешанные и натуральные числа запиши неправильными дробями.
2. Первую дробь не трогай.
3. Знак $÷$ замени на $\cdot$.
4. Вторую дробь (делитель) переверни.
5. Перемножь: верх на верх, низ на низ (сокращай по дороге!).
6. Сократи ответ и, если дробь неправильная, выдели целую часть.

И помни: на нуль делить нельзя, поэтому делитель не может равняться нулю.

Дроби умножаются по тем же законам, что и обычные числа. Эти законы — твои помощники: они разрешают переставлять числа так, как удобно считать.

Переместительный закон — множители можно менять местами: $\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=\frac{c}{d}\cdot \frac{a}{b}$. Как два рюкзака: что первым ни надень на весы, общий вес тот же.

Сочетательный закон — группируй как удобно: $\left(\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}\right)\cdot \frac{e}{f}=\frac{a}{b}\cdot \left(\frac{c}{d}\cdot \frac{e}{f}\right)$.

Распределительный закон — множитель «раздаётся» каждому слагаемому в скобках: $\frac{a}{b}\cdot \left(\frac{c}{d}+\frac{e}{f}\right)=\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}+\frac{a}{b}\cdot \frac{e}{f}$.

Умножение на 1 и на 0: единица ничего не меняет, нуль превращает всё в нуль: $\frac{a}{b}\cdot 1=\frac{a}{b}$, а $\frac{a}{b}\cdot 0=0$.

Зачем это знать? Переставив множители похитрее, часто можно сократить числа и посчитать в уме то, что иначе пришлось бы считать столбиком. В алгебре этот навык будет нужен постоянно.